Question

△ABC中，内角A、B、C所对的边依次为a、b、c，且c≠b，cosA=

1

8

，c=3，∠A的内角平分线之长为2．求b边及sinC．

Answer 1

分析：由cosA=

1

8

可求cos

A

2

，sin

A

2

，设A的平分线为AD，则有余弦定理可求BD，再由正弦定理

3

sin∠ADB

=

BD

sin A 2

可求sin∠ADB，利用诱导公式可得sin∠ADC，而sinC=sin(π-

A

2

-∠ADC)利用诱导公式及和差角公式展开可求，最后在在△ADC中由正弦定理

b

sin∠ADC

=

AD

sinC

可求b

解答：解：由cosA=

1

8

得1-2sin2

A

2

=

1

8

⇒

sin A 2 = 7 4 cos A 2 = 3 4

（3分）
在△ABD中BD=

9+4-12cos A 2

=2
由正弦定理可得

3

sin∠ADB

=

BD

sin A 2

⇒sin∠ADB=

3× 7 4

2

=

3 7

8

（6分）
∴sin∠ADC=

3 7

8

⇒sinC=sin(π-

A

2

-∠ADC)=sin(

A

2

+∠ADC)=sin

A

2

cos∠ADC+cos

A

2

sin∠ADC=

5 7

16

（9分）
在△ADC中由正弦定理可得，

b

sin∠ADC

=

AD

sinC

⇒b=

AD•sin∠ADC

sinC

=

2× 3 7 8

5 7 16

=

12

5

（12分）

点评：本题主要考查了三角函数的半角公式、诱导公正弦定理与余弦定理的综合应用进行求解三角形，解题的关键是输了掌握基本公式并能灵活应用．