Question

6．（1）已知正数x、y满足xy=x+y+3，试求xy、x+y的范围．
（2）已知x＞0，求证：x+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$≥$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由xy=x+y+3≥2$\sqrt{xy}$+3，解不等式即可得到xy，x+y的范围；
（2）设t=x+$\frac{1}{x}$≥2，运用t+$\frac{1}{t}$的导数1-$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0，可得单调性，进而得证．

解答 解：（1）由正数x、y满足xy=x+y+3，
可得xy=x+y+3≥2$\sqrt{xy}$+3，
设t=$\sqrt{xy}$（t＞0），可得t²-2t-3≥0，
解得t≥3，即有xy≥9，
可得x+y≥6，当且仅当x=y=3，取得等号．
则xy的范围是[9，+∞），x+y的范围是[6，+∞）；
（2）证明：设t=x+$\frac{1}{x}$≥2（当且仅当x=1时，等号成立），
即有t+$\frac{1}{t}$的导数1-$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0在[2，+∞）恒成立，
即有t+$\frac{1}{t}$≥2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$（当且仅当t=2即x=1取得等号），
则x+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$≥$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查基本不等式的运用：求取值范围和证明不等式，注意满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．