Question

16．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，线段AD，BD的中点分别为E，F．现将△ABD沿对角线BD翻折，则异面直线BE与CF所成角的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）
• B． （$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]
• C． （$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]
• D． （$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$）

Answer 1

分析 可设菱形的边长为1，从而由条件可得到BE=CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BD=1，根据向量加法的平行四边形法则及向量减法的几何意义可得到$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}），\overrightarrow{CF}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{BD}-2\overrightarrow{BC}）$，然后进行向量数量积的运算可求出$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CF}$，从而可得到$cos＜\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{CF}＞=\frac{\frac{1}{8}-\frac{1}{2}cos＜\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{BC}＞}{\frac{3}{4}}$，而由$-\frac{1}{2}＜cos＜\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{BC}＞＜1$可得$-\frac{1}{2}＜cos＜\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{CF}＞＜\frac{1}{2}$，从而可以得到向量$\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{CF}$夹角的范围，进而便可得出异面直线BE与CF所成角的取值范围．

解答 解：可设菱形的边长为1，则BE=CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BD=1；
线段AD，BD的中点分别为E，F；
∴$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}）$，$\overrightarrow{CF}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}）$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{BD}-2\overrightarrow{BC}）$；
∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CF}=\frac{1}{4}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}）•（\overrightarrow{BD}-2\overrightarrow{BC}）$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}+\frac{1}{4}{\overrightarrow{BD}}^{2}-\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{BC}$
=$\frac{1}{8}-\frac{1}{2}cos＜\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{BC}＞+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}$=$\frac{1}{8}-\frac{1}{2}cos＜\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{BC}＞$；
∴$cos＜\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{CF}＞=\frac{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CF}}{|\overrightarrow{BE}||\overrightarrow{CF}|}$=$\frac{\frac{1}{8}-\frac{1}{2}cos＜\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{BC}＞}{\frac{3}{4}}$；
由图看出$-\frac{1}{2}＜cos＜\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{BC}＞＜1$；
∴$-\frac{1}{2}＜cos＜\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{CF}＞＜\frac{1}{2}$；
∴$\frac{π}{3}＜＜\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{CF}＞＜\frac{2π}{3}$；
即异面直线BE与CF所成角的取值范围是$（\frac{π}{3}，\frac{π}{2}]$．
故选：C．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及向量数量积的运算及其计算公式，向量夹角余弦的计算公式，清楚向量夹角的范围，以及异面直线所成角的范围．