Question

(本小题满分12分)已知数列{a_n}满足a₁＝1，a_n>0，S_n是数列{a_n}的前n项和，对任意n∈N_＋，有2S_n＝p(2＋a_n－1)(p为常数)．

(1)求p和a₂，a₃的值；

(2)求数列{a_n}的通项公式．

 

Answer 1

【答案】

(1)a₂＝；a₃＝2.(2) a_n＝ (n＋1)．

【解析】(1)令n=1,根据a₁=S₁=1,得到p=1,

再令n=2可得2S₂＝2＋a₂－1=2(1＋a₂),从而可得a₂的值.同理令n=3,可求出a₃的值.

(2) 由2S_n＝2＋a_n－1，得2S_n－1＝2＋a_n－1－1(n≥2)，

两式相减，得2a_n＝2(－)＋a_n－a_n－1，

即(a_n＋a_n－1)(2a_n－2a_n－1－1)＝0，

因为a_n>0，所以2a_n－2a_n－1－1＝0，

即a_n－a_n－1＝ (n≥2)，到此可确定{a_n}是等差数列,问题得解.

(1)令n＝1得2S₁＝p(2＋a₁－1)，

又a₁＝S₁＝1，得p＝1；

令n＝2得2S₂＝2＋a₂－1，又S₂＝1＋a₂，

得2－a₂－3＝0， a₂＝或a₂＝－1(舍去)，

∴a₂＝；

令n＝3得2S₃＝2＋a₃－1，又S₃＝＋a₃，得

2－a₃－6＝0，a₃＝2或a₃＝－ (舍去)，∴a₃＝2.

(2)由2S_n＝2＋a_n－1，得

2S_n－1＝2＋a_n－1－1(n≥2)，

两式相减，得2a_n＝2(－)＋a_n－a_n－1，

即(a_n＋a_n－1)(2a_n－2a_n－1－1)＝0，

因为a_n>0，所以2a_n－2a_n－1－1＝0，

即a_n－a_n－1＝ (n≥2)，

故{a_n}是首项为1，公差为的等差数列，

得a_n＝ (n＋1)．