Question

15．在空间直角坐标系Oxyz中，已知$A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，\sqrt{2}）$，则直线AD与平面ABC所成的角为（　　）

• A． 90°
• B． 60°
• C． 45°
• D． 30°

Answer 1

分析 求出平面ABC的法向量，利用向量法能求出直线AD与平面ABC所成的角的大小．

解答 解：∵在空间直角坐标系Oxyz中，
$A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，\sqrt{2}）$，
∴$\overrightarrow{AD}$=（-1，1，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{AB}$=（0，2，0），$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），
设平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-2x+2y=0}\end{array}\right.$，∴$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）
设直线AD与平面ABC所成的角为θ，
sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{AD}|}$=$\frac{|\sqrt{2}|}{1×\sqrt{4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴θ=45°，
∴直线AD与平面ABC所成的角为45°．
故选：C．

点评 本题考查线面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．