Question

（理）已知ABCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且

AE

AC

=

AF

AD

=λ（0＜λ＜1）．
（1）求证不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
（2）若平面BEF与平面BCD所成的二面角的大小为60°，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中，∠BCD=90°，AB⊥平面BCD，我们易得到CD⊥平面ABC，又由E、F分别是AC、AD上的动点，且

AE

AC

=

AF

AD

=λ，故EF∥CD即EF⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理，即可得到答案．
（2）过点C作CZ∥AB，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz．分别求出各顶点的坐标，并根据ABCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，分别求出平面BEF的法向量和平面BCD的法向量，然后根据平面BEF与平面BCD所成的二面角的大小为60°，代入向量夹角公式，构造一个关于λ的方程，解方程即可得到平面BEF与平面BCD所成的二面角的大小为60°时λ的值．

解答：解：（1）∵AB⊥平面BCD，
∴AB⊥CD，
又在△BCD中，∠BCD=90°，
∴BC⊥CD，又AB∩BC=B，
∴CD⊥平面ABC，
又在△ACD中E、F分别是AC、AD上的动点，且

AE

AC

=

AF

AD

=λ，
∴EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC，又EF?平面BEF，
∴不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
（2）过点C作CZ∥AB，∵AB⊥平面BCD，
∴CZ⊥平面BCD，
又在△BCD中，∠BCD=90°，
∴BC⊥CD，
如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz．
又在△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，
∴BD=

2

．
又在Rt△ABD中，∠ADB=60°，
∴AB=

6

，
则C（0，0，0），B（1，0，0），A（1，0，

6

），D（0，1，0）．
∵

AE

AC

=

AF

AD

=λ，∴

AE

=λ

AC

，
∵

AC

=（-1，0，-

6

），∴

AE

=λ

AC

=（λ，0，-

6

λ），
又∵

AB

=（0，0，-

6

），∴

BE

=

AE

-

AB

=（-λ，0，

6

（1-λ）），
设

n

=（x，y，z）是平面BEF的法向量，则

n

⊥

BE

，

n

⊥

EF

，
因为EF∥CD，所以

n

⊥

CD

，因为

CD

=（0，1，0），
所以

-λx+ 6 (1-λ)z=0 Y=0

，
令z=λ得x=

6

（1-1λ），y=0，

n

=（

6

（1-1λ），0，λ），
因为

m

=（0，0，1）是平面BCD的法向量，且平面BEF与平面BCD所成的二面角为60°，
∴cos60°=

m • n

| m |•| n |

=

1

2

=

1-λ

1- 6(1-λ)2+λ2

，
∴λ²-4λ+2=0，
∴λ=2-

2

或λ=2+

2

（不合题意，舍去），
故当平面BEF与平面BCD所成的二面角为60°，时λ=2-

2

．

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角，其中在（2）中，构造适当的空间坐标系，然后结合向量法求二面角的方法，构造一个关于λ的方程，是解答本题的关键．