Question

已知抛物线x²=4y的焦点是椭圆　　C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)一个顶点，椭圆C的离心率为

3

2

，另有一圆O圆心在坐标原点，半径为

a2+b2

．
（1）求椭圆C和圆O的方程；
（2）已知M（x₀，y₀）是圆O上任意一点，过M点作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个公共点，求证：l₁⊥l₂．

Answer 1

分析：（1）确定抛物线焦点坐标，可得b的值，利用椭圆C的离心率为

3

2

，另有一圆O圆心在坐标原点，半径为

a2+b2

，即可求椭圆C和圆O的方程；
（2）分类讨论，利用韦达定理，计算斜率的积为-1，即可证得结论．

解答：（1）解：由x²=4y可得抛物线焦点坐标为（0，1），∴b=1，
又∵e=

3

2

，∴

c2

a2

=

3

4

，∵a2=b2+c2，∴a²=4，
∴

a2+b2

=

5

，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1，圆O的方程为x²+y²=5
（2）证明：若点M的坐标为（2，1），（2，-1），（-2，-1），（-2，1），则过这四点分别作满足条件的直线l₁，l₂，若一条直线斜率为0，则另一条斜率不存在，则l₁⊥l₂
若直线l₁，l₂斜率都存在，则设过M与椭圆只有一个公共点的直线方程为y-y₀=k（x-x₀），
由

y=kx+(y0-kx0) x2 4 +y2=1

得x2+4[kx+(y0-kx0)]2=4
即(1+4k2)x2+8k(y0-kx0)•x+4(y0-kx0)2-4=0
则△=[8k(y0-kx0)]2-4(1+4k2)[4(y0-kx0)2-4]=0
化简得(4-

x

2 0

)k2+2x0y0k+1-

y

2 0

=0
又

x

2 0

+

y

2 0

=5，
∴(4-

x

2 0

)k2+2x0y0k+

x

2 0

-4=0
设直线l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂，因为l₁，l₂与椭圆都只有一个公共点，
所以k₁，k₂满足(4-

x

2 0

)k2+2x0y0k+

x

2 0

-4=0，
∴k1•k2=

x 2 0 -4

4- x 2 0

=-1，
∴l₁⊥l₂

点评：本题考查椭圆与圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．