Question

已知函数f（x）=2asin2x+2sinxcosx-a（a为常数）在x=处取得最大值
（1）求a值；
（2）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（3）若f（θ）=，0＜θ＜，求cosθ

Answer 1

解：（1）f（x）=sin2x-acos2x，依题意，sin-acos=，解得a=1；
（2）f（x）=sin（2x-），所以，函数的最小正周期是π，由 2kπ-≤2x-≤2kπ+ 可得，
，故单调递增区间是[kπ-，kπ+]，k∈Z．
（3）sin2θ-cos2θ=（1），平方得2sin2θcos2θ=，
而0＜θ＜，sin2θ＞0，cos2θ＞0，所以 sin2θ+cos2θ=（2）．
联立（1）（2）解得cos2θ=，2cos²θ-1=，∴cosθ=．
分析：（1）根据f（x）=sin2x-acos2x，依题意可得sin-acos=，解得a 的值．
（2）化简f（x）=sin（2x-），最小正周期是π，由 2kπ-≤2x-≤2kπ+ 求得x的范围，即得递增区间．
（3）由条件可得sin2θ-cos2θ=（1），平方得2sin2θcos2θ=，故sin2θ＞0，cos2θ＞0，故sin2θ+cos2θ=（2），
联立（1）（2）解得cos2θ 的值，再由二倍角公式求出cosθ的值．
点评：本题考查正弦函数的周期性、单调性和值域，二倍角公式的应用，是一道中档题．