Question

已知函数f（x）=

1

x+a

+a（a∈R），若a=1，则f（1）=

 

；若f（x）为奇函数，则a=

 

．

Answer 1

考点：函数的零点,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）把a=1代入函数f（x）的解析式，再求出f（1）的值；
（2）利用奇函数的性质：f（-x）=-f（x），列出方程化简后，利用分母不为零和恒成立求出a的值．

解答： 解：（1）当a=1时，函数f（x）=

1

x+1

+1，
则f（1）=

1

2

+1=

3

2

；
（2）因为f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x），
即

1

-x+a

+a=-（

1

x+a

+a），则-

1

-x+a

-

1

x+a

=2a，
化简得2a（x-a）（x+a）=2a恒成立，
因为x≠±a，所以（x-a）（x+a）≠0，即a=0，
故答案为：

3

2

；0．

点评：本题考查函数的函数值，函数奇偶性的应用，以及恒成立问题，注意函数的定义域，考查化简能力．