【题目】已知函数.
,且
.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数与函数
在公共点
处有相同的切线,且
在
上恒成立.
(i)求和
的值;(
为函数
的导函数)
(ii)求实数n的取值范围.
【答案】(1) 单调递增区间为,单调递减区间为
和
.(2) (i)
(ii)
【解析】
(1)利用导数证明单调性即可;
(2)(i)根据点P是与
的公共点,以及根据导数的几何意义列出方程组,求解即可得到
和
的值;
(ii)由,
以及题设条件,判断
是
的极小值点,由
,列出方程,构造函数
,
,利用导数得到其最值,即可得到实数n的取值范围.
解:(1)∵
又因为,所以
.
令,则
,
∴;
令,则
,
∴或
∴的单调递增区间为
,单调递减区间为
和
.
(2)(i)∵与
在公共点
处有相同的切线
∴,∴
.
(ii)∵在
恒成立,且
.
是
的极值点,若
是
的极大值点,由于
,则不满足
在
上恒成立.
∴是
的极小值点,由(1)知
∴
∴,
令,
,∴
,
令则
,
.∵
,
,
.
∴的值域为
所以实数的取值范围是
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【题目】2019年双十一落下帷幕,天猫交易额定格在268(单位:十亿元)人民币(下同),再创新高,比去年218(十亿元)多了50(十亿元),这些数字的背后,除了是消费者买买买的表现,更是购物车里中国新消费的奇迹,为了研究历年销售额的变化趋势,一机构统计了2010年到2019年天猫双十一的销售额数据(单位:十亿元).绘制如下表1:
表1
年份 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
销售额 | 0.9 | 8.7 | 22.4 | 41 | 65 | 94 | 132.5 | 172.5 | 218 | 268 |
根据以上数据绘制散点图,如图所示.
把销售超过100(十亿元)的年份叫“畅销年”,把销售额超过200(十亿元)的年份叫“狂欢年”,从2010年到2019年这十年的“畅销年”中任取2个,求至少取到一个“狂欢年”的概率.
参考公式:对于一组数据,
,…,
,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
,
.
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【题目】已知椭圆C:,(a>b>0)过点(1,
)且离心率为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的右顶点为P,过定点(2,﹣1)的直线l:y=kx+m与椭圆C相交于异于点P的A,B两点,若直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求k1+k2的值.
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【题目】设Tn为数列{an}的前n项的积,即Tn=a1a2…an.
(1)若Tn=n2,求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}满足Tn=(1﹣an)(n∈N*),证明数列
为等差数列,并求{an}的通项公式;
(3)数列{an}共有100项,且满足以下条件:
①;
②(1≤k≤99,k∈N*).
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)试问符合条件的数列共有多少个?为什么?
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【题目】如图,在正方体中,点
在线段
上运动,则 ( )
A.直线平面
B.三棱锥的体积为定值
C.异面直线与
所成角的取值范围是
D.直线与平面
所成角的正弦值的最大值为
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【题目】在半径为的球内有一内接正三棱锥,它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上,一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动,经过其余三点后返回,则经过的最短路程是________
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【题目】已知点在椭圆上E:
(
),点
为平面上一点,O为坐标原点.
(1)当取最小值时,求椭圆E的方程;
(2)对(1)中的椭圆E,P为其上一点,若过点的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T,且满足
(
),求实数t的取值范围.
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