Question

已知函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1．
（1）求函数f（x）的振幅、周期、初相；
（2）画出函数y=f（x）在区间[0，π]内的图象．
（3）说明f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换得到．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1，结合除幂公式（二倍角公式逆用）及和差角公式，可将函数的解析式化为y=Asin（ωx+φ）的形式，根据振幅为A，周期T=

2π

ω

，初相为φ，可得答案．
（2）分别令x=0，

π

8

，

3π

8

，

5π

8

，

7π

8

，π，根据（1）中函数解析式求出函数值，描点点线可得函数y=f（x）在区间[0，π]内的图象．
（3）根据（1）中函数解析式及平移前函数解析式y=sinx，分析A，ω及φ的关键，结合y=Asin（ωx+φ）图象变换法则可得答案．

解答：解：（1）∵f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1
∴f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)
即函数f（x）的振幅为

2

；周期为 π；初相为-

π

4

（2）列表，图象如下图示

x	0	π 8	3π 8	5π 8	7π 8	π
2x- π 4	- π 4	0	π 2	π	3π 2	7π 4
f（x）	-1	0	2	0	- 2	-1

（3）把y=sinx图象上所有点向右平移

π

4

个单位得到y=sin(x-

π

4

)的图象
再把y=sin(x-

π

4

)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的

1

2

倍（纵坐标不变）得到y=sin(2x-

π

4

)的图象
最后把y=sin(2x-

π

4

)的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的

2

倍（横坐标不变）即得y=

2

sin(2x-

π

4

)的图象

点评：本题考查的知识点是y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，是正弦函数图象和性质的综合应用，难度中等．