【题目】如图所示，在正方体中， 是棱的中点．

（）求直线和平面所成角的正弦值．

（）在棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论．

【题目】已知椭圆，且椭圆上任意一点到左焦点的最大距离为，最小距离为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的动直线交椭圆于两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得以线段为直径的圆恒过点?若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由.

【题目】参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩分析的茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：

（1）求参加数学抽测的人数n、抽测成绩的中位数及分数分别在[80，90），[90，100]内的人数；
（2）若从分数在[80，100]内的学生中任选两人进行调研谈话，求恰好有一人分数在[90，100]内的概率．

【题目】已知函数

（1）求函数的极值；

（2）当时，过原点分别做曲线 与的切线，，若两切线的斜率互为倒数，求证：.

已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用，表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．

（1）用，列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

（2）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？

【题目】数列满足，．

（1）设，求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和为．

【题目】《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果墙足够厚，为前天两只老鼠打洞之和，则_________________尺．

【题目】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列．
（1）求cosB的值；
（2）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．