【题目】已知函数，其中为自然对数的底数，

（I）若，函数

①求函数的单调区间

②若函数的值域为,求实数的取值范围

（II）若存在实数,使得，且，求证：

【题目】某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为分钟和分钟.

（Ⅰ）用列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域;

（Ⅱ）该公司如何分配在甲、乙两个电视台做广告的时间使公司的收益最大，并求出最大收益是多少?

【题目】设函数， .

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数在处取得极大值，求正实数的取值范围.

【题目】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率．以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形的周长为8，面积为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若点为椭圆上一点，直线的方程为，求证：直线与椭圆有且只有一个交点．

【题目】某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第年与年销量（单位：万件）之间的关系如下表：

（1）在图中画出表中数据的散点图；

（2）根据散点图选择合适的回归模型拟合与的关系（不必说明理由）；

（3）建立关于的回归方程，预测第5年的销售量.

附注：参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

， .

【题目】如图是2017年第一季度五省情况图，则下列陈述正确的是（ ）

①2017年第一季度 总量和增速均居同一位的省只有1个；

②与去年同期相比，2017年第一季度五个省的总量均实现了增长；

③去年同期的总量前三位是江苏、山东、浙江；

④2016年同期浙江的总量也是第三位.

A. ①② B. ②③④ C. ②④ D. ①③④

（1）求甲拿到礼物的概率；

（2）设表示甲参加游戏的轮数，求的概率分布和数学期望.

【题目】已知数列各项均为正数， ， ，且对任意恒成立，记的前项和为.

（1）若，求的值；

（2）证明：对任意正实数， 成等比数列；

（3）是否存在正实数，使得数列为等比数列.若存在，求出此时和的表达式；若不存在，说明理由.

【题目】已知函数， .

（1）求过点的的切线方程；

（2）当时，求函数在的最大值；

（3）证明：当时，不等式对任意均成立（其中为自然对数的底数， ）.

【题目】如图所示的自动通风设施.该设施的下部是等腰梯形，其中为2米，梯形的高为1米， 为3米，上部是个半圆，固定点为的中点. 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和平行.当位于下方和上方时，通风窗的形状均为矩形（阴影部分均不通风）.

（1）设与之间的距离为（且）米，试将通风窗的通风面积（平方米）表示成关于的函数；

（2）当与之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积取得最大值？