【题目】已知椭圆 的焦距为，斜率为的直线与椭圆交于两点，若线段的中点为，且直线的斜率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若过左焦点斜率为的直线与椭圆交于点 为椭圆上一点，且满足，问：是否为定值？若是，求出此定值，若不是，说明理由.

【题目】设函数.

（1）当时，求函数的最大值；

（2）令，（）其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；

（3）当，，方程有唯一实数解，求正数的值．

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，函数在上的最小值为，若不等式有解，求实数的取值范围.

①若，则奖励玩具一个；

②若，则奖励水杯一个；

③其余情况奖励饮料一瓶.

假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.

（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；

（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.

【题目】如图，梯形中，，平面平面，.

（1）求证：平面平面；

（2）若，求与平面所成角的正弦值.

【题目】某地西红柿从2月1号起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本(单位：元/100)与上市时间(距2月1日的天数，单位：天)的数据如下表：

（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系：；

（2）利用（1）中选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．

【题目】某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域I）设计成半径为1km的扇形，中心角（）.为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区（区域II）和休闲区（区域III），并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形，其中点，分别在边和上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元.

（1）要使观赏区的年收入不低于5万元，求的最大值；

（2）试问：当为多少时，年总收入最大？

在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）。曲线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线，的极坐标方程；

（2）在极坐标系中，射线与曲线交于点，射线与曲线交于点，求的面积（其中为坐标原点）.

【题目】已知函数．

(1)试作出的图象,并根据图象写出的单调区间；

(2)若函数有两个零点,求实数b的取值范围．