Question

【题目】设函数.

（1）当时，求函数的最大值；

（2）令，（）其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；

（3）当，，方程有唯一实数解，求正数的值．

Answer 1

【答案】

（3）因为方程有唯一实数解，

所以有唯一实数解，

设，

则．令，．

因为，，所以（舍去），

，

当时，，在（0，）上单调递减，

当时，，在（，+∞）单调递增

当时，=0，取最小值．（12′）

【解析】

(1)利用导数求函数的单调区间即得函数的最大值.(2)由题得，.再求右边二次函数的最大值即得.(3)转化为有唯一实数解，设，再研究函数在定义域内有唯一的零点得解.

(1)依题意，知的定义域为，

当时，，

，

令，解得.(∵)

因为 有唯一解，所以，当时，，此时单调递增；

当时，，此时单调递减，

所以的极大值为，此即为最大值.

(2)，，则有，在上恒成立，

所以，.

当时，取得最大值，所以.

(3)因为方程有唯一实数解，

所以有唯一实数解，

设，

则，令，，

因为，，所以(舍去)，，

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增；

当时，，取最小值.

则，即，

所以，因为，所以(*)

设函数，因为当时，

是增函数，所以至多有一解，

因为，所以方程(*)的解为，即，解得.