【题目】如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液．现将此容器倾斜一定角度（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．

（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角的最大值是多少？

（2）现需要倒出不少于的溶液，当时，能实现要求吗？请说明理由．

【题目】在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．

（1）分别求出曲线和直线的直角坐标方程；

（2）若点在曲线上，且到直线的距离为1，求满足这样条件的点的个数．

【题目】直角坐标平面内，每个点绕原点按逆时针方向旋转的变换所对应的矩阵为，每个点横、纵坐标分别变为原来的倍的变换所对应的矩阵为.

(I)求矩阵的逆矩阵；

(Ⅱ)求曲线先在变换作用下，然后在变换作用下得到的曲线方程.

【题目】已知函数，.

(I)若，求函数的单调区间；

(Ⅱ)若存在极小值点，且，其中，求证: ；

(Ⅲ)试问过点可作多少条直线与的图像相切?并说明理由.

如图在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4,点D是AB的

中点.

(1) 求证： AC⊥BC1

(2) 求证：AC1∥平面CDB1

(3) 求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.

【题目】某市公园内的人工湖上有一个以点为圆心的圆形喷泉，沿湖有一条小径，在的另一侧建有控制台，和之间均有小径连接(小径均为直路)，且，喷泉中心点距离点60米，且连线恰与平行，在小径上有一拍照点，现测得米， 米，且.

(I)请计算小径的长度；

(Ⅱ)现打算改建控制台的位置，其离喷泉尽可能近，在点的位置及大小均不变的前提下，请计算距离的最小值；

(Ⅲ)一人从小径一端处向处匀速前进时，喷泉恰好同时开启，喷泉开启分钟后的水幕是一个以为圆心，半径米的圆形区域(含边界)，此人的行进速度是米/分钟，在这个人行进的过程中他会被水幕沾染，试求实数的最小值.

（1）若采用样本估计总体的方式，试估计小王的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率；

（2）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？

【题目】已知数列是首项为1的等差数列，数列满足，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和.

【题目】中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，古代用它作为长方体棱台（上、下底面均为矩形额棱台）的专用术语，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上表，下表从之，亦倍小表，上表从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六面一.”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一，以此算法，现有上下底面为相似矩形的棱台，相似比为，高为3，且上底面的周长为6，则该棱台的体积的最大值是（ ）

A. 14 B. 56 C. D. 63

在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为 （为参数，），以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）求已知曲线和曲线交于，两点，且，求实数的值.