【题目】某市公园内的人工湖上有一个以点
为圆心的圆形喷泉，沿湖有一条小径
，在的另一侧建有控制台
，
和
之间均有小径连接(小径均为直路)，且
，喷泉中心点距离
点60米，且
连线恰与平行，在小径上有一拍照点
，现测得
米， 
米，且
.
(I)请计算小径的长度；
(Ⅱ)现打算改建控制台的位置，其离喷泉尽可能近，在点
的位置及
大小均不变的前提下，请计算
距离的最小值；
(Ⅲ)一人从小径一端
处向处匀速前进时，喷泉恰好同时开启，喷泉开启
分钟后的水幕是一个以为圆心，半径
米的圆形区域(含边界)，此人的行进速度是
米/分钟，在这个人行进的过程中他会被水幕沾染，试求实数
的最小值.
【答案】(Ⅰ)
千米；(Ⅱ)
；(Ⅲ)4.
【解析】
分析：(I) 以
为坐标原点， 
所在直线为
轴，过且垂直于的直线为
轴，建立平面直角坐标系，由题意可知
，
，则AB所在直线即可表示，即可求出A点坐标，从而得出答案；
(Ⅱ)
三点共圆，可求圆的方程为
，
，则
距离最小值为圆心与C之间的距离减去半径；
(Ⅲ) 因为
在
的正西方向，且
千米，所以. 假设在
时刻人所在的位置为
，所以
，则可表示
，又在时， 
，欲使这个人行进的过程中会被水幕沾染，则存在
，使得
，化简即可得出答案.
解析：(I)以为坐标原点， 所在直线为轴，过且垂直于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由
千米， 
，可知，直线
的方程为
，.所以直线
的方程为
，令
，得
，所以，千米；
(Ⅱ) 三点共圆，可求圆的方程为，，则距离最小值为
(此时点为直线
与点
及坐标原点之间劣弧的交点)；
(Ⅲ)因为在的正西方向，且千米，所以.人从行驶到所需要的时间为
(分钟)，假设在时刻人所在的位置为，则
千米，所以，则
.
又在时， ，欲使这个人行进的过程中会被水幕沾染，则存在，使得，即
成立，所以存在，使得
成立，
当时， 
，当且仅当
，即
时取等号.所以
，即实数
的最小值为4.
小博士期末闯关100分系列答案
名校名师培优作业本加核心试卷系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液．现将此容器倾斜一定角度
（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．
（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角的最大值是多少？
（2）现需要倒出不少于
的溶液，当
时，能实现要求吗？请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在正四面体A—BCD中，棱长为4，M是BC的中点，
点P在线段AM上运动（P不与A、M重合），过
点P作直线l⊥平面ABC，l与平面BCD交于点Q，
给出下列命题：
①BC⊥平面AMD ②Q点一定在直线DM上
③
其中正确的是（ ）
A.①②B.①③C.②③D.①②③
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知数列
是公差为正数的等差数列，其前
项和为
，
且
，
(1)求数列的通项公式．
(2)设数列
满足
，
①求数列的通项公式；
②是否存在正整数
，使得
，
，
成等差数列？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆
：
的离心率为
，点
为左焦点，过点作
轴的垂线交椭圆于
、
两点，且
.
（1）求椭圆的方程；
（2）在圆
上是否存在一点
，使得在点处的切线
与椭圆相交于
、
两点满足
？若存在，求的方程；若不存在，请说明理由.
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