【题目】设函数，其中.函数的图像在点处的切线与函数的图像在点处的切线互相垂直.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若在上恒成立，求实数的取值范围.

【题目】如图所示，椭圆的左、右顶点分别为，离心率，长轴与短轴的长度之和为.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）在椭圆上任取点（与两点不重合），直线交轴于点，直线交轴于点，证明：为定值.

【题目】我们知道，地球上的水资源有限，爱护地球、节约用水是我们每个人的义务和责任.某市政府为了对自来水的使用进行科学管理，节约水资源，计划确定一个家庭年用水量的标准，为此，对全市家庭日常用水的情况进行抽样调查，并获得了个家庭某年的用水量（单位：立方米），统计结果如下表所示.

（Ⅰ）分别求出的值；

（Ⅱ）若以各组区间中点值代表该组的取值，试估计全市家庭平均用水量；

（Ⅲ）从样本中年用水量在（单位：立方米）的个家庭中任选个，作进一步跟踪研究，求年用水量最多的家庭被选中的概率（个家庭的年用水量都不相等）.

【题目】已知O是平面直角坐标系的原点，双曲线.

（1）过双曲线的右焦点作x轴的垂线，交于A、B两点，求线段AB的长；

（2）设M为的右顶点，P为右支上任意一点，已知点T的坐标为，当的最小值为时，求t的取值范围；

（3）设直线与的右支交于A，B两点，若双曲线右支上存在点C使得，求实数m的值和点C的坐标.

【题目】在中国绿化基金会的支持下，库布齐沙漠得到有效治理.2017年底沙漠的绿化率已达，从2018年开始，每年将出现这样的情况，上一年底沙漠面积的被栽上树改造为绿洲，而同时，上一年底绿洲面积的又被侵蚀，变为沙漠.

（1）设库布齐沙漠面积为1，由绿洲面积和沙漠面积构成.2017年底绿洲面积为，经过1年绿洲面积为，经过n年绿洲面积为，试用表示；

（2）问至少需要经过多少年的努力才能使库布齐沙漠的绿洲面积超过（年数取整数）.

【题目】下列四个命题中真命题是　　

A. 同垂直于一直线的两条直线互相平行

B. 底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱

C. 过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条

D. 过球面上任意两点的大圆有且只有一个

【题目】已知椭圆C： （a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1， ），P4（1， ）中恰有三点在椭圆C上.

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.

【题目】某化工企业2018年年底投入100万元，购入一套污水处理设备。该设备每年的运转费用是0.5万元，此外，每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元。设该企业使用该设备年的年平均污水处理费用为（单位：万元）

（1）用表示；

（2）当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备。则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备。

【题目】如图所示，在三棱柱中，平面是线段上的动点，是线段上的中点.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若，且直线所成角的余弦值为，试指出点在线段上的位置，并求三棱锥的体积.

【题目】将函数的图像向左平移个单位后得到函数的图像，且函数满足，则下列命题中正确的是（）

A. 函数图像的两条相邻对称轴之间的距离为

B. 函数图像关于点对称

C. 函数图像关于直线对称

D. 函数在区间内为单调递减函数