Question

20．一块足够长的白板，位于水平桌面上，处于静止状态．一石墨块（可视为质点）静止在白板上．石墨块与白板间有摩擦，滑动摩擦系数为μ．突然，使白板以恒定的速度v₀做匀速直线运动，石墨块将在板上划下黑色痕迹．经过某段时间t，令白板突然停下，以后不再运动．最后石墨块也不再运动，白板上黑色痕迹的长度是多少？（已知重力加速度为g，不计石墨与板摩擦划痕过程中损失的质量）

Answer 1

分析 石墨在白板上受到重力、支持力和摩擦力，根据牛顿第二定律求解出加速度，根据运动学公式求出相对滑动的位移即可．

解答 解：在时间t内，石墨可能一直匀加速，也可能先加速后匀速；
石墨加速时，根据牛顿第二定律，有
μmg=ma
解得
a=μg
①如果时间t内一直加速，加速的位移为${x}_{1}=\frac{1}{2}（μg）{t}^{2}$，故相对白板的位移为$△{x}_{1}={v}_{0}t-{x}_{1}={v}_{0}t-\frac{1}{2}（μg）{t}^{2}$
②如果先加速，后匀速，位移为${x}_{2}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}+{v}_{0}（t-\frac{{v}_{0}}{μg}）$=${v}_{0}t-\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$，故相对白板的位移为$△{x}_{2}={v}_{0}t-{x}_{2}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$
③如果加速的末速度恰好等于v₀，则${x}_{3}={v}_{0}t-\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$，故相对白板的位移为$△{x}_{3}={v}_{0}t-{x}_{3}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$
经过时间t后，白板静止后，石墨做减速运动，加速度大小不变，故相对白板沿原路返回，故白板上黑色痕迹的长度等于加速时相对薄板的位移；
答：可能有三种情况：①如果时间t内一直加速，白板上黑色痕迹的长度是${v}_{0}t-\frac{1}{2}（μg）{t}^{2}$．
②如果先加速，后匀速，白板上黑色痕迹的长度是$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$；
③如果加速的末速度恰好等于v₀，白板上黑色痕迹的长度是$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$．

点评 本题也可以薄板为参考系，则石墨先加速前进，后减速沿原来返回，提供运动学公式列式分析即可．要注意对三种可能的情况进行讨论，不能只考虑一种．