Question

18．如图所示，长为L的轻杆AB，可绕垂直于杆的水平轴O转动，AO间距离为$\frac{L}{4}$，A、B两端分别拴着质量为m和2m的小球，使杆在竖直面内以角速度ω匀速转动，当AB杆转到图中虚线所示位置时，转轴对杆的作用力多大，方向如何？

Answer 1

分析 在转动过程中，轻杆共受三个力作用，即两球对它的作用力和轴对它作用力．杆重不计，则三力合力为0．要求球对杆的作用力，必须先求出杆对球的作用力，结合牛顿第二定律进行求解．

解答 解：在图示位置，设杆对A球的弹力N_A 方向向上，则有
mg-N_A=mω²$\frac{L}{4}$，N_A=mg-mω²$\frac{L}{4}$
而杆对B球作用力N_B方向一定向上，
故有   N_B-2mg=mω²$\frac{3L}{4}$，N_B=mω²$\frac{3L}{4}$+2mg
根据牛顿第三定律可知，两球对杆的作用力大小分别与N_A、N_B大小相等而方向相反．
当mg-mω²$\frac{L}{4}$＞0，即ω＜$\sqrt{\frac{4g}{L}}$时，N_A 方向向上．两球对杆作用力方向均向下，
故转轴对杆作用力  N=N_A+N_B=3mg+mω²$\frac{L}{2}$，方向向上．
当mg-mω²$\frac{L}{4}$=0，即ω=$\sqrt{\frac{4g}{L}}$时，N_A=0，
转轴对杆作用力 N=N_B=mω²$\frac{3L}{4}$+2mg，方向向上．
当mg-mω²$\frac{L}{4}$＜0，即ω＞$\sqrt{\frac{4g}{L}}$时，N_A 方向向下，大小为N_A=mω²$\frac{L}{4}$-mg
A球对杆作用力方向向上，转轴对杆作用力N=N_B-N_A=3mg+mω²$\frac{L}{2}$，方向向上．
答：ω＜$\sqrt{\frac{4g}{L}}$时，转轴对杆作用力为3mg+mω²$\frac{L}{2}$，方向向上；ω=$\sqrt{\frac{4g}{L}}$时，转轴对杆作用力为mω²$\frac{3L}{4}$+2mg，方向向上；ω＞$\sqrt{\frac{4g}{L}}$时，转轴对杆作用力3mg+mω²$\frac{L}{2}$，方向向上．

点评 解决本题的关键知道小球做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解，以及知道杆子受两球作用力以及转轴的作用力三个力的合力为零．