Question

14．如图所示，在光滑的水平面上停放着小车B，车上左端有一小物体A，A和B之间的接触面前一段光滑，光滑部分的长度为L₁=1.5m；后一段粗糙，粗糙部分的长度为L₂=4.25m且后一段物体与小车间的动摩擦因数μ=0.4；A的质量m=1kg，B的质量M=4kg，先用水平向左的力F₁=12N拉动小车，当两者速度相等时水平向左的力突变为F₂=24N，求：（g取10m/s²）
（1）A刚进入粗糙部分时，小车B的速度；
（2）从车开始运动直到小车与物体刚分离，求此过程经历的时间．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律得出A未进入粗糙部分时B的加速度，结合速度位移公式求出A刚进入粗糙部分时，小车B的速度．
（2）根据速度时间公式求出A进入粗糙部分的时间，A进入粗糙部分后，做匀加速直线运动，B也做匀加速直线运动，拉力改变后，A的加速度不变，B做加速度更大的匀加速直线运动，结合牛顿第二定律和运动学公式分别求出速度相等前的时间和速度相等后相对滑动所需的时间，从而得出整个过程的时间．

解答 解：（1）根据牛顿第二定律得，A未进入粗糙部分时，B的加速度${a}_{1}=\frac{{F}_{1}}{M}=\frac{12}{4}m/{s}^{2}=3m/{s}^{2}$，
B做匀加速直线运动时，A处于静止，则A刚进入粗糙部分时，小车B的速度${v}_{1}=\sqrt{2{a}_{1}{L}_{1}}$=$\sqrt{2×3×1.5}$m/s=3m/s．
（2）A进入粗糙部分后，做匀加速直线运动，A的加速度${a}_{2}=μg=0.4×10m/{s}^{2}=4m/{s}^{2}$，
B的加速度${a}_{3}=\frac{{F}_{1}-μmg}{M}=\frac{12-0.4×10}{4}m/{s}^{2}$=2m/s²，
设经过t₂时间，两车速度相等，则有：v₁+a₃t₂=a₂t₂，
代入数据解得t₂=1.5s，
此过程中，A的位移${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{2}}^{2}=\frac{1}{2}×4×1．{5}^{2}$m=4.5m，B的位移${x}_{2}={v}_{1}{t}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{3}{{t}_{2}}^{2}$=$3×1.5+\frac{1}{2}×2×1．{5}^{2}$m=6.75m．
发生的相对位移△x₁=x₂-x₁=6.75-4.5m=2.25m，
此时A、B的速度v₂=a₂t₂=4×1.5m/s=6m/s
当两者速度相等时水平向左的力突变为F₂=24N，此时B的加速度${a}_{4}=\frac{{F}_{2}-μmg}{M}=\frac{24-0.4×10}{4}m/{s}^{2}$=5m/s²，
根据位移关系有：△x₂=$（{v}_{2}{t}_{3}+\frac{1}{2}{a}_{4}{{t}_{3}}^{2}）-（{v}_{2}{t}_{3}-\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{3}}^{2}）$=L₂-△x₁，
代入数据解得t₃=2s．
开始车匀加速直线运动的时间t₁=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{3}{3}s=1s$，
则此过程经历的时间t=t₁+t₂+t₃=1+1.5+2s=4.5s．
答：（1）A刚进入粗糙部分时，小车B的速度为3m/s．
（2）此过程经历的时间为4.5s．

点评 解决本题的关键理清A、B在整个过程中的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解，知道加速度是联系力学和运动学的桥梁．