Question

13．某放置在真空中的装置如图甲所示，水平放置的平行金属板A、B中间开有小孔，小孔的连线与竖直放置的平行金属板C、D的中心线重合．在C、D的下方有如图所示的、范围足够大的匀强磁场，磁场的理想上边界与金属板C、D下端重合，其磁感应强度随时间变化的图象如图乙所示，图乙中的B₀为已知，但其变化周期T₀未知．已知金属板A、B之间的电势差为U_AB=+U₀，金属板C、D的长度均为L，间距为$\frac{\sqrt{3}}{3}$L．质量为m、电荷量为q的带正电粒子P（初速度不计、重力不计）进入A、B两板之间被加速后，再进入C、D两板之间被偏转，恰能从D极下边缘射出．忽略偏转电场的边界效应．

（1）求金属板C、D之间的电势差U_CD．
（2）求粒子离开偏转电场时速度的大小和方向．
（3）规定垂直纸面向里的磁场方向为正方向，在图乙中t=0时刻该粒子进入磁场，并在t₁=$\frac{1}{4}$T₀时刻粒子的速度方向恰好水平，求磁场的变化周期T₀和该粒子从射入磁场到离开磁场的总时间t_总．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中加速、偏转，应用动能定理与类平抛运动规律求出电势差．
（2）粒子在偏转磁场中做类平抛运动，应用动能定理与速度的分解可以求出粒子的速度．
（3）分析清楚粒子运动过程，根据粒子的周期公式与运动过程求出粒子的运动时间．

解答 解：（1）粒子在电场中加速，由动能定理得：
qU₀=$\frac{1}{2}$mv₀²-0，
解得：v₀=$\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$，
粒子在偏转电场中做类平抛运动，由牛顿第二定律得：
q$\frac{{U}_{cd}}{d}$=ma，
L=v₀t  $\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{3}$L=$\frac{1}{2}$at²，
解得：U_cd=$\frac{2}{3}$U₀；
（2）粒子在偏转电场中，由动能定理得：
q$\frac{{U}_{cd}}{2}$=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：v=$\sqrt{\frac{8q{U}_{0}}{3m}}$，
粒子由k离开电场时的偏转角为θ，由平行四边形定则得：
v₀=vcosθ，
解得：θ=30°；
（3）粒子在磁场中做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
粒子从k进入磁场沿逆时针方向运动，由“在t₁=$\frac{1}{4}$T₀时刻粒子的速度方向恰好水平”可知：
运动轨迹对应的圆心角θ=60°，t₁=$\frac{θ}{360°}$T=$\frac{1}{6}$T，则$\frac{1}{6}$T=$\frac{1}{4}$T₀，
解得：T₀=$\frac{4πm}{3q{B}_{0}}$，
由图乙所示可知，粒子经过e点时，磁场方向相反，t₂=$\frac{T}{2}$内粒子沿顺时针方向运动半周到达f点，此时磁场再反向，
粒子在t₃=$\frac{1}{6}$T内沿逆时针方向运动到g点，然后在t₄=$\frac{T}{2}$内运动到h点，接着在t₅=$\frac{T}{6}$内运动到i点，最后经t₆=$\frac{T}{6}$从j点离开磁场，
粒子运动的总时间：t_总=t₁+t₂+t₃+t₄+t₅+t₆=$\frac{5T}{3}$，t_总=$\frac{10πm}{3q{B}_{0}}$；
答：（1）金属板C、D之间的电势差U_CD为$\frac{2}{3}$U₀；
（2）粒子离开偏转电场时速度的大小为：$\sqrt{\frac{8q{U}_{0}}{3m}}$，方向：与初速度方向成30°．
（3）磁场的变化周期T₀和为$\frac{4πm}{3q{B}_{0}}$，该粒子从射入磁场到离开磁场的总时间t_总为$\frac{10πm}{3q{B}_{0}}$．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程，应用动能定理、类平抛运动规律、粒子做圆周运动的周期公式即可正确解题，作出粒子运动轨迹是正确解题的关键．