Question

如图甲所示，两根足够长、电阻不计的光滑平行金属导轨相距为L₁=1m，导轨平面与水平面成θ=30°角，上端连接阻值R=1.5Ω的电阻；质量为m=0.2kg、阻值r=0.5Ω的金属棒ab放在两导轨上，距离导轨最上端为L₂=4m，棒与导轨垂直并保持良好接触．整个装置处于一匀强磁场中，该匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁感应强度大小随时间变化的情况如图乙所示．为保持ab棒静止，在棒上施加了一平行于导轨平面的外力F，g=10m/s²求：

（1）当t=2s时，外力F₁的大小；
（2）当t=3s前的瞬间，外力F₂的大小和方向；
（3）请在图丙中画出前4s外力F随时间变化的图象（规定F方向沿斜面向上为正）；
（4）4s后，撤去外力F，金属棒将由静止开始下滑，这时用电压传感器将R两端的电压即时采集并输入计算机，在显示器显示的电压达到某一恒定值后，记下该时刻棒的位置，测出该位置与棒初始位置相距207.90cm，求棒下滑该距离过程中电阻R上产生的焦耳热．

Answer 1

分析：（1）由图知，0-3s时间内，B均匀增大，回路中产生恒定的感应电动势和感应电流，根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律求出感应电流，由平衡条件求解t=2s时，外力F₁的大小．
（2）与上题用同样的方法求出外力F₂的大小和方向．
（3）由B-t图象得到B与t的关系式，根据平衡条件得到外力F与t的关系式，再作出图象．
（4）撤去外力后，棒沿导轨向下做变加速运动，最终匀速，当R上电压达到恒定时，棒已做匀速运动，根据平衡条件和安培力与速度的表达式，求出匀速运动的速度，再运用能量守恒定律列式求解整个回路产生的热量Q_总．由于R与r串联，电阻R上产生的焦耳热为 Q_R=

R

R+r

Q_总．

解答：解（1）当t=2s时，回路中产生的感应电动势为：
E=

△B

△t

L₁L₂，
B₂=1T，应电流为：
I=

E

R+r

=L₁L₂

△B

△t(R+r)

=1×4×

1.5

3×(1.5+0.5)

A=1A；
根据楞次定律判断可知，ab所受的安培力沿轨道向上；
ab棒保持静止，受力平衡，设外力沿轨道向上，则由平衡条件有：
mgsin30°-B₂IL₁-F₁=0
可解得：F₁=mgsin30°-B₂IL₁=0.2×10×sin30°-1×1×1=0
（2）当t=3s前的瞬间，由图可知，B₃=1.5T，设此时外力沿轨道向上，则根据平衡条件得：
F₂+B₃IL₁-mg sin30°=0
则得：F₂=mg sin30°-B₃IL₁=0.2×10×sin30°-1.5×1×1=-0.5N，负号说明外力沿斜面向下．
（3）规定F方向沿斜面向上为正，在0-3s内，根据平衡条件有：
mgsin30°-BIL₁-F=0
而B=0.5t（T）
则得：F=mgsin30°-BIL₁=0.2×10×sin30°-0.5T×1×1=1-0.5T（N）
当t=0时刻，F=1N．
在3-4s内，B不变，没有感应电流产生，ab不受安培力，则由平衡条件得：F=mgsin30°=0.2×10×sin30°N=1N
画出前4s外力F随时间变化的图象如图所示．
（4）撤去外力后，棒沿导轨向下做变加速运动，最终匀速．当R上电压达到恒定时，棒已做匀速运动．由a=0得：
mgsinθ=B₃IL₁
又根据闭合欧姆定律得：I=

B3L1vm

R+r

所以有：v_m=

mg(R+r)sinθ

B 2 3 L 2 1

=

0.2×10×(1.5+0.5)×0.5

1．52×12

m/s=

8

9

m/s
该过程中，根据能量守恒定律得：Q_总=mgxsinθ-

1

2

mv²
而 Q_总=Q_R+Q_r
  

QR

Qr

=

R

r

故 Q_R=

R

R+r

Q_总
代入数据得：Q_R=1.5J
答：（1）当t=2s时，外力F₁的大小是0；
（2）当t=3s前的瞬间，外力F₂的大小是0.5N，方向沿斜面向下；
（3）画出前4s外力F随时间变化的图象如图所示．
（4）棒下滑该距离过程中电阻R上产生的焦耳热是1.5J．

点评：解决本题的关键掌握法拉第电磁感应定律、平衡条件、安培力公式和能量守恒定律等等电磁学和力学规律，得到解析式，再画图象是常用的思路，要多做相关的训练．