Question

14．如图所示，轨道a、b、c在同一竖直平面内，其中a是光滑圆弧轨道且末端水平，b是半径为r=2m的光滑半圆形轨道且直径DF沿竖直方向，水平轨道c上静止放置着相距l=1.0m的物块B和C，B位于F处，现将小球A从轨道a距D点高为H的位置由静止释放，小球经D处水平进入轨道b后恰能沿轨道内侧运动，到达F处与物块B正碰，碰后A、B粘在一起向右滑动，并与C发生弹性正碰．已知A、B、C质量分别为m，m，6m均可看做质点，物块与地面的动摩擦因数μ=0.45．（设碰撞时间很短，g取10m/s²）
（1）求H的大小；
（2）求物块C与AB整体都停止运动后它们之间的距离．

Answer 1

分析 （1）要使滑块A能沿竖直平面内光滑半圆轨道b内侧做圆周运动，在D点应满足：mg≤$\frac{m{v}_{D}^{2}}{r}$，结合滑块A沿a轨道下滑过程中机械能守恒列式求解H的大小．
（2）AB碰撞过程，由动量守恒定律求得碰后共同速度，再由动能定理求得AB整体与C碰撞前瞬间的速度；
AB整体与C发生弹性碰撞，由动量守恒定律和能量守恒定律求出碰撞后AB的速度和C的速度，由动能定理求出它们在地面上滑行的距离，然后结合几何关系求出它们之间的距离．

解答 解：（1）滑块A从轨道a下滑到达D点的过程中，由机械能守恒定律得：
   mgH=$\frac{1}{2}$mv_D²，
要使滑块A恰好能沿竖直平面内光滑半圆轨道b内侧做圆周运动，在D点应满足：
  mg=$\frac{m{v}_{D}^{2}}{r}$，
联立并代入数据解得 H=1m．
（2）滑块A从a轨道上H=1m处下滑到达F点的过程，由机械能守恒定律得
   mg（H+2r）=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
可得，滑块经过F点的速度 v₀=10m/s
A、B碰撞过程，取向右为正方向，由动量守恒定律得：
   mv₀=2mv₁．
设AB整体与C碰撞前瞬间的速度为v₂．由动能定理得：
-μ•2mgl=$\frac{1}{2}•2m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}•2m{v}_{1}^{2}$
联立以上各式解得 v₂=4m/s
AB整体与C发生弹性碰撞，由动量守恒定律和能量守恒定律得：
   2mv₂=2mv₃+6mv
   $\frac{1}{2}$×2mv₂²=$\frac{1}{2}$×2mv₃²+$\frac{1}{2}$•6mv₄²
解得 v₃=-2m/s，v₄=2m/s
此时AB整体的运动方向与C相反，速度的大小相等．
A与B的整体向左做减速运动，位移的大小：${x}_{AB}=\frac{\frac{1}{2}•2m{v}_{3}^{2}}{2μmg}$
代入数据得：${x}_{AB}=\frac{4}{9}$m
C向右做减速运动的位移：${x}_{c}=\frac{{\frac{1}{2}•6mv}_{2}^{2}}{6μmg}$
代入数据得：${x}_{c}=\frac{4}{9}$m
所以AB与C之间的距离：L=${x}_{AB}+{x}_{C}=\frac{4}{9}m+\frac{4}{9}m=\frac{8}{9}$m
答：（1）H的大小是1m；
（2）物块C与AB整体都停止运动后它们之间的距离是$\frac{8}{9}$m．

点评 本题是一道力学综合题，分析清楚小球运动过程、应用机械能守恒定律、动能定理、牛顿第二定律即可正确解题；解题时要注意小球做圆周运动临界条件的应用．