Question

18．如图所示，质量相等的重物A，B用绕过轻小的定滑轮M，N的细绳连接在一起，重物A，B处于同一水平面上保持静止状态，现将质量与重物A相同的C挂于与滑轮轴处于同一水平线上的M，N两轮的中点（MN=2a）．问：
（1）物体C下落达到平衡位置时的速度是多少？
（2）下落最大位移是多少？

Answer 1

分析 （1）C先向下做加速运动，加速度越来越小，当加速度为零时，C的速度最大，分别对C和AB受力分析，根据平衡条件列式结合几何关系求出C下降的距离，再对系统，运用机械能守恒定律求最大速度；
（2）当C下落的速度等于0时，下落的距离最大，此时ABC三者的速度都为零，根据几何关系结合机械能守恒定律列式求解．

解答 解：（1）C先向下做加速运动，加速度越来越小，当加速度为零时，C的速度最大，设此时绳子与水平方向的夹角为α，此时C受力平衡，则有：
   2Tsinα=mg
AB受力平衡，绳子拉力等于重力，则有T=mg
解得：sinα=$\frac{1}{2}$，即：α=30°
根据几何关系可知，C下落的高度为：h=$\frac{MN}{2}$tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a
设物体C下落达到平衡位置时的速度为v₁，A、B的速度为v₂．此过程中，A、C上升的高度 H=$\frac{a}{cos30°}$-a=$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$a
则有 v₂=v₁sin30°
由系统的机械能守恒有 
    mgh=2mgH+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$+2×$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$．
解得 v₁=$\frac{3}{5}\sqrt{ga}$
（2）当C下落的速度等于0时，下落的距离最大，此时ABC三者的速度都为零，设C下落的最大高度为h′，B上升的高度为h₁，根据几何关系可知：
    h₁=$\sqrt{{a}^{2}+h{′}^{2}}$-a
整个过程中，整体机械能守恒，根据机械能守恒定律得：
   mgh′=2mgh₁
解得：h′=$\frac{4}{3}$a
答：
（1）物体C下落达到平衡位置时的速度是$\frac{3}{5}\sqrt{ga}$．
（2）下落最大位移是$\frac{4a}{3}$．

点评 本题的关键明确当C的加速度为零时，速度最大．C下落的距离最大时ABC三者的速度都为零，要注意几何关系在解题中的应用．