Question

7．如图所示．长为3L的长木板AD放在光滑的水平面上，B、C两点将长木板三等分，AB、CD段光滑，一物块从A点以一定的初速度滑上长木板，物块与长木板段间的动摩擦因数为μ，物块质量为m，长木板的质量为2m，重力加速度为g，求：
（1）物块在BC段滑动时，木板的加速度大小；
（2）要使物块不滑离长木板，物块的初速度应满足的条件；
（3）若初速度为2$\sqrt{μgL}$，则物块在长木板上运动的时间．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出木板的加速度；
（2）木块刚好不滑离木板的临界条件是速度相等，相对位移等于木板的长度，即可求出初速度满足的条件
（3）物块在AB段做匀速直线运动，根据位移公式求出AB段的运动时间，根据牛顿第二定律求出物块和木板在BC段的加速度，结合位移之差等于L求出运动的时间，以及在C点物块和木板的速度，结合位移之差等于L求出CD段的时间，从而得出总时间．

解答 解：（1）物块滑到BC段时，物块加速度
${a}_{1}^{\;}=μg$
长木板的加速度${a}_{2}^{\;}=\frac{μmg}{2m}=\frac{1}{2}μg$
（2）设物块刚好不滑离长木板的初速度为${v}_{0}^{\;}$，则物块滑到C点时，与木块具有共同速度，设所用时间为t
${v}_{0}^{\;}-{a}_{1}^{\;}t={a}_{2}^{\;}t$
${v}_{0}^{\;}t-\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{\;}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{\;}^{2}=L$
即初速度小于等于$\sqrt{3μgL}$，物块就不会滑离长木板
（3）若初速度为$2\sqrt{μgL}$，则物块在AB段运动的时间为${t}_{1}^{\;}=\frac{L}{2\sqrt{μgL}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{L}{μg}}$
物块在BC段运动时${v}_{0}^{′}{t}_{2}^{\;}-\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{2}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{2}^{2}=L$
解得：${t}_{2}^{\;}=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{L}{μg}}$（${t}_{2}^{\;}=2\sqrt{\frac{L}{μg}}$不合题意舍去）
在C点，物块的速度${v}_{1}^{\;}={v}_{0}^{′}-{a}_{1}^{\;}{t}_{2}^{\;}=\frac{4}{3}\sqrt{μgL}$
长木板的速度${v}_{2}^{\;}={a}_{2}^{\;}{t}_{2}^{\;}=\frac{1}{3}\sqrt{μgL}$
滑块通过CD段所用时间满足${v}_{1}^{\;}{t}_{3}^{\;}-{v}_{2}^{\;}{t}_{3}^{\;}=L$
解得：${t}_{3}^{\;}=\sqrt{\frac{L}{μg}}$
物块在长木板上运动的时间为：
$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}=\frac{13}{6}\sqrt{\frac{L}{μg}}$
答：（1）物块在BC段滑动时，木板的加速度大小为$\frac{1}{2}μg$；
（2）要使物块不滑离长木板，物块的初速度应满足的条件小于等于$\sqrt{3μgL}$；
（3）若初速度为2$\sqrt{μgL}$，则物块在长木板上运动的时间$\frac{13}{6}\sqrt{\frac{L}{μg}}$．

点评 解决本题的关键理清物块和木板在整个过程中的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解，对于第一问也可以采用能量守恒定律进行求解．