Question

3．如图所示，细绳一端系一质量为m的小球，一端悬挂在O点，绳长为l；小球静止在最低点A处，现通过瞬时作用使小球获得一水平向右的初速度v，问初速度v满足什么条件，绳始终被拉直？

Answer 1

分析 要保证小球在运动过程中绳子始终不松弛，小球应做完整的圆周运动或在圆心下方运动．小球恰好能通过最高点时，向心力等于小球的重力，由此列式求最高点的最小值；恰好到达与圆心O等高位置时速度为零，再由机械能守恒定律求v₀满足的条件．

解答 解：小球在运动过程中绳子始终不松弛，有两种情况：
第一情况：小球做完整的圆周运动，设小球通过最高点的最小速度为v．
则有 mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$
从最低点到最高点的过程，由机械能守恒定律得
  $\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$=2mgL+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
联立解得  v₀=$\sqrt{5gL}$=$\sqrt{10}$m/s
所以，要使小球做完整的圆周运动，必须满足的条件是：v₀≥$\sqrt{10}$m/s．
第二情况：小球在圆心下方运动，上升的最高点与圆心O等高，则由机械能守恒定律有
  $\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$=mgL，解得 v₀=$\sqrt{gL}$=$\sqrt{2}$m/s
在这种情况下，绳子始终不松弛，v₀满足的条件是：0＜v₀≤$\sqrt{2}$m/s．
综上，v₀满足的条件是：v₀≥$\sqrt{10}$m/s或0＜v₀≤$\sqrt{2}$m/s．
答：初速度v满足v₀≥$\sqrt{10}$m/s或0＜v₀≤$\sqrt{2}$m/s时绳始终被拉直

点评 解决本题的关键要掌握圆周运动的临界条件：在最高点时，最小向心力等于重力．绳子刚松驰时，绳子的拉力为零，由重力指向圆心的分力提供向心力．要熟练应用向心力公式、机械能守恒定律即可正确解题．