Question

1．如图所示，在直角坐标系xOy的第一象限区域中，有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度的大小为E=kv₀，在第二象限内有一半径为R=b的圆形区域磁场，圆形磁场的圆心O₁坐标为（-b，b），与坐标轴分别相切于P点和N点，磁场方向垂直纸面向里，在x=3b处垂直于x轴放置一平面荧光屏，与x轴交点为Q，大量的电子以相同的速率在纸面内从P点进入圆形磁场，电子的速度方向在与x轴正方向成θ角的范围内，其中沿y轴正方向的电子经过磁场到达N点，速度与x轴正方向成θ角的电子经过磁场到达M点且M点坐标为（0，1.5b），忽略电子间的相互作用力，不计电子的重力，电子的比荷为$\frac{e}{m}$=$\frac{{v}_{0}}{kb}$，求：
（1）圆形磁场的磁感应强度大小；
（2）θ角的大小；
（3）电子到荧光屏上距Q点的最远距离．

Answer 1

分析 （1）速度沿y轴正方向的电子经过N点，结合几何关系求解轨道半径；根据牛顿第二定律列式求解磁感应强度；
（2）画出速度与x轴正方向成θ角的电子经过磁场过程的轨迹，结合几何关系确定轨道对应的圆心角；
（3）所有的电子以平行于x轴正方向的速度进入电场中做类似平抛运动，根据类似平抛运动的分运动公式列式求解即可．

解答 解：（1）由于速度沿y轴正方向的电子经过N点，因而电子在磁场中做圆周运动的半径为：r=b   
而$e{v_0}B=m\frac{v_0^2}{r}$
联立解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{eb}$=k
（2）电子在磁场中做圆周运动的圆心为O'，电子离开磁场时的位置为P'，连接POP'O'可知该四边形为棱形，由于PO竖直，因而 半径P'O'也为竖直方向，电子离开磁场时速度一定沿x轴正方向．  
由右图可知：

a•sin（θ-90°）+b=1.5b
解得：θ=120°
（3）由（2）可知，所有的电子以平行于x轴正方向的速度进入电场中做类似平抛运动，设电子在电场的运动时间为t，竖直方向位移为y，水平位移为x，
水平：x=v₀t 

竖直：$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
eE=ma
v_y=at
联立解得：
x=$\sqrt{2by}$
设电子最终打在光屏的最远点距Q点为H．电子射出电场时的夹角为θ有：
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\sqrt{\frac{2y}{b}}$
有：H=（3b-x）tanθ=（3$\sqrt{b}$-$\sqrt{2y}$）$\sqrt{2y}$
当$3\sqrt{b}-\sqrt{2y}=\sqrt{2y}$时，即y=$\frac{8}{9}b$时，H有最大值； 
由于$\frac{8}{9}b＜1.5b$，所以${H}_{max}=\frac{16}{9}b$；
答：（1）圆形磁场的磁感应强度大小为k；
（2）θ角的大小为120°；
（3）电子打到荧光屏上距Q点的最远距离为$\frac{16}{9}b$．

点评 本题关键是明确粒子的受力情况和运动规律，画出临界轨迹，结合牛顿第二定律、类似平抛运动的分运动规律和几何关系分析．