Question

13．如图所示，abcd为固定的水平光滑矩形金属导轨，导轨间距为L，左右两端接有定值电阻R₁和R₂，R₁=R₂=R，整个装置处于磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中．质量为m的导体棒MN放在导轨上，棒始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨与棒的电阻．两根相同的轻质弹簧甲和乙一端固定，另一端同时与棒的中点连接．初始时刻，两根弹簧恰好处于原长状态，棒获得水平向左的初速度v₀，第一次运动至最右端的过程中R₁产生的电热为Q，下列说法中正确的是（　　）

• A． 初始时刻棒所受安培力的大小为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{R}$
• B． 棒第一次回到初始位置的时刻，R₂的电功率为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{R}$
• C． 棒第一次到达最右端的时刻，两根弹簧具有弹性势能的总量为$\frac{1}{2}$mv${\;}_{0}^{2}$-Q
• D． 从初始时刻至棒第一次到达最左端的过程中，整个回路产生的电热大于$\frac{2Q}{3}$

Answer 1

分析 由E=BLv₀、I=$\frac{E}{R}$、F=BIL三个公式结合求解初始时刻棒受到安培力大小．MN棒从开始到第一次运动至最右端，电阻R上产生的焦耳热为2Q，整个回路产生的焦耳热为4Q．

解答 解：A、由F=BIL及I=$\frac{BL{v}_{0}}{{R}_{并}}$=$\frac{BL{v}_{0}}{\frac{1}{2}R}$，得安培力大小为F_A=BIL=$\frac{2{B}^{2}{{L}^{2}v}_{0}}{R}$．故A错误；
B、由于安培力始终对MN做负功，产生焦耳热，由动能定理得：当棒再次回到初始位置时，速度小于v₀，棒产生的感应电动势小于BLv₀，则AB间电阻R的功率小于$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}^{2}}{R}$，故B错误；
C、由能量守恒得知，当棒第一次达到最右端时，物体的机械能全部转化为整个回路中的焦耳热和甲乙弹簧的弹性势能，两个电阻相同并联，故产生的热量相同，则电路中产生总热量为2Q，所以两根弹簧具有的弹性势能为$\frac{1}{2}$$m{v}_{0}^{2}-2Q$，故C错误；
D、由于安培力始终对MN做负功，产生焦耳热，棒第一次达到最左端的过程中，棒平均速度最大，安培力平均值最大，电路中产生总热量为2Q，从初始时刻至棒第一次到达最左端的过程中；整个回路中产生的焦耳热应大于$\frac{1}{3}$×2Q，故D正确．
故选：D

点评 本题分析系统中能量如何转化是难点，也是关键点，根据导体棒克服安培力做功等于产生的焦耳热，分析电阻R上产生的热量．