Question

9．如图所示，倾角θ=37°的固定斜面AB长L=20m，质量为M=1kg的木块由斜面上的中点C从静止开始下滑，0.5s时被一颗质量为m=20g的子弹以v₀=600m/s沿斜面向上的速度正对木块射入并穿出，穿出时速度u=100m/s．以后每隔1.5s就有一颗子弹射入木块，设子弹射穿木块的时间可忽略不计，且每次射入木块对子弹的阻力都相同．已知木块与斜面间的动摩擦因数μ=0.25．（g取10m/s²，sin37°=0.60，cos37°=0.80），求：
（1）第一颗子弹从木块中穿出时木块的速度大小和方向．
（2）第二颗子弹穿出木块后，木块上升最高点离斜面B点还有多远？
（3）在木块从C点开始运动到第二颗子弹穿出木块后的过程中，子弹、木块和斜面这一系统所产生的总热量是多少？

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律和运动学公式求出0.5s末木块的速度大小和方向，子弹在射出木块的瞬间，沿斜面方向上动量守恒，结合动量守恒定律求出第一颗子弹从木块中穿出时的速度大小和方向．
（2）根据位移时间公式求出第一次击中后木块的位移，结合牛顿第二定律和运动学公式求出木块被子弹第二次击中时的速度以及向上运动的位移大小，结合斜面的长度得出有几颗子弹可以击中木块．
（3）全过程系统所产生的热量可分两部分：两颗子弹穿过木块所产生的内能和木块在斜面上滑行时所产生的内能，根据能量守恒求出产生的总热量

解答 解：（1）木块开始下滑时，由牛顿第二定律有：
Mgsinθ-μMgcosθ=Ma₁ 
代入数据解得：a₁=4m/s² 
t₁=0.5s末速度大小为：v₁=a₁t₁=2m/s（方向沿斜面向下）  
设第一颗子弹穿过木块后瞬间木块的速度大小为v₁′，以沿斜面向上为正方向，由动量守恒定律得：
mv₀-Mv₁=mu+Mv₁′
解得：v₁′=8m/s，方向沿斜面向上
（2）t₁=0.5s时木块下滑的位移大小为：s₁=$\frac{1}{2}$a₁t₁²=0.5m，
第一颗子弹穿过木块后木块沿斜面上滑时，对木块有：
Mgsinθ+μMgcosθ=Ma₂     
代入数据解得：a₂=8m/s²，方向沿斜面向下
得上滑到最高点的时间为：t₂=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{2}}$=1s；  
上滑位移大小为：s₂=$\frac{{v}_{1}}{2}$t₂=4m，
可知木块从C处开始运动到被第一颗子弹击中再上升至最高点的总位移为：
L₁=s₂-s₁=3.5m，方向沿斜面向上．
因为△t-t₂=0.5s，所以第二颗子弹击中木块前，木块上升到最高点P₁后又会向下加速0.5s，下滑距离为s₃=s₁=0.5m，
且被第二颗子弹击中前瞬间的速度大小为：v₂=v₁=2m/s（方向沿斜面向下），
所以之后过程与第一颗子弹击中后过程相同，即再次上滑到最高点P₂的位移大小仍为：s₄=s₂=4m，
总位移大小仍为：L₂=L₁=3.5m，方向仍沿斜面向下，
由此可知，第二颗子弹击中木块后，木块上升至最高点离斜面B点距离为：BP=BC-（L₁+L₂）=3m．
（3）全过程系统所产生的热量可分两部分：
两颗子弹穿过木块所产生的内能和木块在斜面上滑行时所产生的内能．
两颗子弹穿过木块所产生的内能为：
Q1=3[（$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{1}{2}$Mv₁²）-（$\frac{1}{2}$mu²-$\frac{1}{2}$Mv₁²）]，代入数据解得：Q₁=10410J
全过程木块在斜面上滑行的总路程为：s=BC+6s₁=13m，
那么木块在斜面上滑行时所产生的热量为：Q₂=μMgscosθ=26J，
则全过程系统所产生的总热量为：Q=Q₁+Q₂=10436J；
答：（1）第一颗子弹从木块中穿出时木块的速度大小为8m/s，方向沿斜面向上．
（2）第二颗子弹穿出木块后，木块上升最高点离斜面B点还有3m；
（3）子弹、木块和斜面这一系统所产生的总热量是10436J．

点评 本题综合考查了牛顿第二定律、动量守恒定律、能量守恒定律和运动学公式，关键理清运动过程，选择合适的规律进行求解．