Question

11．如图所示，内壁光滑的导管弯成圆周轨道竖直放置，其质量为3m，小球质量为m，在管内滚动，轨道半径为R，求
（1）当小球以$υ=\sqrt{\frac{gR}{2}}$通过最高点时，导管对小球的作用力．
（2）若小球运动到最高点时，导管刚好要离开地面，此时小球速度多大．

Answer 1

分析 （1）小球在最高点受到的重力与支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律即可求出；
（2）当小球运动到最高点时，导管刚好要离开地面，知小球对管道的作用力等于管道的重力，结合牛顿第二定律求出小球的速度．

解答 解：（1）小球在最高点受到重力和轨道的作用力，设轨道对小球的作用力的方向向下，则：
F+mg=m$\frac{υ^2}{R}$
解得：F=-$\frac{1}{2}$mg，
负号说明导管对小球的作用力方向竖直向上．
（2）导管刚要离开，说明小球对导管的作用力大小与导管的重力相等，由牛顿第三定律可知导管对小球的作用力与导管的重力相等．
F_N=3mg，
对小球进行受力分析，得：
F_N+mg=m$\frac{υ^2}{R}$
解得：$υ=2\sqrt{gR}$
答：（1）当小球以$υ=\sqrt{\frac{gR}{2}}$通过最高点时，导管对小球的作用力是=-$\frac{1}{2}$mg，负号说明导管对小球的作用力方向竖直向上．
（2）若小球运动到最高点时，导管刚好要离开地面，此时小球速度是$2\sqrt{gR}$．

点评 解决本题的关键知道小球做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解．