Question

某课外小组经长期观测，发现靠近某行星周围有众多卫星，且相对均匀地分布于行星周围，假设所有卫星绕该行星的运动都是匀速圆周运动，通过天文观测，测得离行星最近的一颗卫星的运动半径为R₁，周期为T₁，已知万有引力常为G．求：
（1）行星的质量；
（2）若行星的半径为R，行星的第一宇宙速度；
（3）通过天文观测，发现离行星很远处还有一颗卫星，其运动半径为R₂，周期为T₂，试估算靠近行星周围众多卫星的总质量．

Answer 1

（1）根据万有引力提供向心力得：
G

Mm

R12

=m

4π2R1

T12

解得行星质量为：M=

4π2R13

GT12

（2）由G

Mm

R2

=m

v2

R

得第一宇宙速度为：v=

2πR1

T1

R1 R

（3）因为行星周围的卫星分布均匀，研究很远的卫星可把其他卫星和行星整体作为中心天体，
根据万有引力提供向心力得：G

M总m

R22

=m

4π2R2

T22

所以行星和其他卫星的总质量M总=

4π2R23

GT22

所以靠近该行星周围的众多卫星的总质量为：△M=

4π2R23

GT22

-

4π2R13

GT12

答：（1）行星的质量为

4π2R13

GT12

；
（2）若行星的半径为R，行星的第一宇宙速度为

2πR1

T1

R1 R

；
（3）通过靠近行星周围众多卫星的总质量为

4π2R23

GT22

-

4π2R13

GT12

．