Question

（2007?宿迁模拟）某课外小组经长期观测，发现靠近某行星周围有众多卫星，且相对均匀地分布于行星周围，假设所有卫星绕该行星的运动都是匀速圆周运动，通过天文观测，测得离行星最近的一颗卫星的运动半径为R₁，周期为T₁，已知万有引力常为G．求：
（1）行星的质量；
（2）若行星的半径为R，行星的第一宇宙速度；
（3）通过天文观测，发现离行星很远处还有一颗卫星，其运动半径为R₂，周期为T₂，试估算靠近行星周围众多卫星的总质量．

Answer 1

分析：（1）万有引力做为向心力，明确告诉了行星的周期，所以向心力的公式要考虑用含有周期的公式．
（2）行星的第一宇宙速度等于星球表面卫星的环绕速度，根据在星球表面，万有引力等与向心力，列式求解．
（3）因为行星周围的卫星分布均匀，研究很远的卫星可把其他卫星和行星整体作为中心天体，根据万有引力提供向心力求出总质量，则靠近行星周围众多卫星的总质量等于刚才求的总质量减去行星质量．

解答：解：（1）根据万有引力提供向心力得：
G

Mm

R12

=m

4π2R1

T12

解得行星质量为：M=

4π2R13

GT12

（2）由G

Mm

R2

=m

v2

R

得第一宇宙速度为：v=

2πR1

T1

R1 R

（3）因为行星周围的卫星分布均匀，研究很远的卫星可把其他卫星和行星整体作为中心天体，
根据万有引力提供向心力得：G

M总m

R22

=m

4π2R2

T22

所以行星和其他卫星的总质量M总=

4π2R23

GT22

所以靠近该行星周围的众多卫星的总质量为：△M=

4π2R23

GT22

-

4π2R13

GT12

答：（1）行星的质量为

4π2R13

GT12

；
（2）若行星的半径为R，行星的第一宇宙速度为

2πR1

T1

R1 R

；
（3）通过靠近行星周围众多卫星的总质量为

4π2R23

GT22

-

4π2R13

GT12

．

点评：根据万有引力提供向心力，列出等式只能求出中心体的质量．
要求出行星的质量，我们可以在行星周围找一颗卫星研究，即把行星当成中心体．