Question

【题目】如图甲所示，一根轻质弹簧上端固定在天花板上，下端挂一小球（可视为质点），弹簧处于原长时小球位于点．将小球从点由静止释放，小球沿竖直方向在之间做往复运动，如图乙所示．小球运动过程中弹簧始终处于弹性限度内．不计空气阻力，重力加速度为．

（1）证明小球的振动是简谐振动；

（2）已知弹簧劲度系数为．以点为坐标原点，竖直向下为轴正方向，建立一维坐标系，如图乙所示．

a．请在图丙中画出小球从运动到的过程中，弹簧弹力的大小随相对于点的位移变化的图象．根据图象求：小球从运动到任意位置的过程中弹力所做的功，以及小球在此位置时弹簧的弹性势能；

b．己知小球质量为，小球在运动的过程中，小球、弹簧和地球组成的物体系统机械能守恒．求小球经过中点时瞬时速度的大小．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2） ；

【解析】（1）证明：开始时弹簧形变量，规定向下为正方向，依据平衡关系， 之后， ，以为平衡点，即原点， 故，故做简谐运动．

（2）a． 图像如下图所示，图中的图线和轴围成的面积表示功的大小，所以弹力做功为．

由弹力做功与弹性势能的关系，解得，

b．小球由点到中点，根据动能定理，小球由点到点，根据机械能守恒定律．

解得： ．