Question

5．如图，导热性能良好的气缸A和B高度均为h（已除开活塞的厚度），横截面积不同，竖直浸没在温度为T₀的恒温槽内．它们的底部由一细管连通（细管容积可忽略）．两气缸内各有一个活塞，质量分别为m_A=2m和m_B=m，活塞与气缸之间无摩擦，两活塞的下方为理想气体，上方为真空．当活塞下方处于平衡状态时，两活塞底面相对于气缸底的高度均为$\frac{h}{2}$．现保持恒温槽温度不变，在两个活塞上面同时各缓慢加上同样大小的压力，让压力从零缓慢增加，直至其大小等于2mg（g为重力加速度）为止，并一直保持活塞上的压力不变，系统再次达到平衡后，缓慢升高恒温槽的温度，对气体加热，直至气缸B中活塞底面恰好回到高度为$\frac{h}{2}$，处，求：
（1）两个活塞的横截面积之比S_A：S_B
（2）气缸内气体的最后温度；
（3）在加热气体的过程中，气体对活塞所做的功．

Answer 1

分析 （1）开始时两缸内的气压相等，从而可得出两活塞的面积关系，
（2）两活塞上同时各加一质量为m的物块后，就打破了原有的平衡，面积小的活塞会下沉，直至面积小的活塞移到底部，再确定左侧气体的状态参量，整个过程是等温变化，由气体的状态方程可得出左缸气体的高度．加热的过程中气体的压强不变，温度升高，由气态方程求出最后的温度；
（3）由功的公式W=FS即可求出功．

解答 解：（1）设左、右活塞的面积分别为S_A和S_B，由于气体处于平衡状态，故两活塞对气体的压强相等，即：$\frac{{m}_{A}g}{{S}_{A}}$=$\frac{{m}_{B}g}{{S}_{B}}$    （1）
由此得到：S_A：S_B=2：1；
（2）两活塞上各放一质量为2m的质点前，气体的压强P₁和体积V₁分别为：
P₁=$\frac{2mg}{{S}_{A}}$=$\frac{mg}{{S}_{B}}$    （2）
V₁=$\frac{3}{2}$S_Bh；       （3）
在两个活塞上各加一质量为2m物块后，B中活塞受到的气体压力小于它和质点所受重力之和，故B中活塞将一直下降至气缸底部，所有气体都在A气缸中．
假设此时气缸A中活塞并未上升到气缸顶部，气体的压强P₂为：
P₂=$\frac{4mg}{{S}_{A}}$=$\frac{2mg}{{S}_{B}}$    （4）
设平衡时气体体积为V2，由于初态和末态均为平衡态，则由理想气体状态方程有：
$\frac{{P}_{1}{V}_{1}}{{T}_{0}}$=$\frac{{P}_{2}{V}_{2}}{{T}_{0}}$        （5）
联立解得：V₂=$\frac{3}{4}$S_Bh=$\frac{3}{8}$S_Ah；  （6）
这时气体中的体积小于气缸A的体积，与活塞未上或到气缸顶部的假设一致；
缓慢加热时，气体先等压膨胀，B中活塞不动，A中活塞上升，A中活塞上升至顶部后，气体等容升压，压强升至：
$\frac{3mg}{{S}_{B}}$，B中活塞开始上升，气体等压膨胀．设当温度升至T时，该活塞恰位于$\frac{h}{2}$处，此时气体的体积变为V₃=$\frac{5{S}_{B}h}{2}$    （7）
气体压强P₃=$\frac{3mg}{{S}_{B}}$   （8）
设此时气缸内气体的温度为T，则由状态方程可知：
$\frac{{P}_{2}{V}_{2}}{{T}_{0}}$=$\frac{{P}_{3}{V}_{3}}{T}$  （9）
联立（4）、（6）、（7）、（8）、（9）可得：
T=5T₀；
（3）升高恒温槽的温度后，加热过程中，A活塞上升量为
h-$\frac{3h}{8}$=$\frac{5h}{8}$   （10）
气体对活塞所做的总功为：
W=4mg$•\frac{5}{8}$h+3mg$•\frac{h}{2}$=4mgh；   （11）
答：（1）活塞的横截面积之比是2：1；
（2）气缸内气体的最后温度为5T₀；
（3）在加热气体的过程中，气体对活塞所做的功为4mgh．

点评 解答该题要注意两个方面，一是根据平衡求解两活塞的面积的关系，二是当两活塞上放上相同质量的物体后，要会判断出面积小的活塞下移，直至移到底部，这是解决此题的关键．