Question

3．一吊桥由六对钢杆悬吊着，六对钢杆在桥面分列两排，其上端挂在两根钢缆上，如图为其一截面图，已知图中相邻两钢杆间距离均为9m，靠桥面中心的钢杆长度为2m（即AA′=DD′=2m），BB′=EE′，CC′=PP′，又已知两端钢缆与水平成45°．若钢杆、钢缆自重不计，为使每根钢杆承受的负荷相同，试求钢杆BB′和CC′的长度应各为多少？

Answer 1

分析 先对整体受力分析，受重力和两个拉力，根据平衡条件求解出拉力F；再对C点受力分析，求解出BC与水平方向夹角；再对B点受力分析，根据平衡条件求解出BA与水平方向的夹角；最后根据几何关系求解每根钢杆的长度．

解答 解：对整体受力分析，受重力和两个拉力F，根据平衡条件，有：2Fcos45°=mg
解得：F=$\frac{\sqrt{2}}{2}$mg
对C点受力分析，受CC′杆的拉力、拉力F、BC钢缆的拉力，根据平衡条件，有：
水平方向：Fcos45°=F_BCcosθ₁（θ₁为F_BC与水平方向的夹角）
竖直方向：Fsin45°=$\frac{G}{6}$+F_BCsinθ₁
解得：${F}_{BC}=\frac{\sqrt{13}}{6}mg$，tanθ₁=$\frac{2}{3}$
对B点受力分析，受BB′杆的拉力、BC钢索的拉力、AB钢索的拉力，根据平衡条件，有：
水平方向：F_BCcosθ₁=F_BAcosθ₂（θ₂为F_BA与水平方向的夹角）
竖直方向：F_BCsinθ₁=$\frac{G}{6}$+F_BAsinθ₂
解得：${F}_{BA}=\frac{\sqrt{10}}{6}mg$，tanθ₂=$\frac{1}{3}$
故BB′=AA′+A′B′tanθ₂=2+9×$\frac{1}{3}$=5m
CC′=BB′+B′C′tanθ₁=5+9×$\frac{2}{3}$=11m
答：钢杆BB′的长度为5m，钢杆CC′的长度为11m．

点评 本题已知部分线段和角度，求其他线段长度，原为几何问题，但从各有关点受力平衡可知有关角度，从而求出未知线段，这就是本题的题思路．巧妙地选取受力分析的点和物体可简化解题过程．