Question

15．如图所示，粗糙水平地面与半径为R=0.5m的粗糙半圆轨道BCD相连接，且在同一竖直平面内，O是BCD的圆心，BOD在同一竖直线上．质量为m=1kg的小物块在水平恒力F=15N的作用下，从A点由静止开始做匀加速直线运动，当小物块运动到B点时撤去F，小物块沿半圆轨道运动恰好能通过D点，已知A、B间的距离为3m，小物块与地面间的动摩擦因数为0.3，重力加速度g取10m/s²．求：
（1）小物块运动到B点时对圆轨道B点的压力大小．
（2）小物块离开D点后落到地面上的点与B点之间的距离．

Answer 1

分析 （1）小物块从A运动到B的过程中，根据动能定理求出物块到达B点时的速度．在B点，由牛顿第二定律求出轨道对物块的支持力，从而得到物块对轨道的压力．
（2）因为小物块恰好能通过D点，所以在D点小物块所受重力等于向心力，由牛顿第二定律求出小物块通过D点的速度．小物块离开D点做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，由运动学公式求解落到水平地面上的点与B点之间的距离．

解答 解：（1）小物块在水平面上从A运动到B过程中，根据动能定理，有：
（F-μmg）x_AB=$\frac{1}{2}$mv_B²-0 
在B点，以物块为研究对象，根据牛顿第二定律得：
N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
联立解得小物块运动到B点时轨道对物块的支持力为：N=154N
由牛顿第三定律可得，小物块运动到B点时对圆轨道B点的压力大小为：N′=N=154N
（2）因为小物块恰能通过D点，所以在D点小物块所受的重力等于向心力，即：
mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
可得：v_D=$\sqrt{5}$m/s
设小物块落地点距B点之间的距离为x，下落时间为t，根据平抛运动的规律有：
x=v_Dt，
2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$          
解得：x=2R=1m
答：（1）小物块运动到B点时对圆轨道B点的压力大小是154N．
（2）小物块离开D点后落到地面上的点与B点之间的距离是1m．

点评 本题是动能定理、牛顿第二定律和平抛运动规律的综合应用，关键是确定运动过程，分析运动规律，知道物体恰好到达圆周最高点的临界条件：重力等于向心力．