Question

1．如图1所示，两根粗糙、足够长的直金属导轨MN、PQ彼此平行，与水平面夹角为θ，导轨间距为L，金属导轨上单位长度的电阻阻值为r；M、P两点间接有一电源，电动势为E，内阻不计，其中MP与导轨垂直，M、P间导线的电阻忽略不计．一根质量为m、电阻不计的直金属杆放在两导轨上，并与导轨垂直，且处处与导轨接触良好．整套装置处于磁感应强度大小为B，方向垂直斜面向下的匀强磁场中，重力加速度为g．

（1）若金属杆放在导轨上某位置时，恰好不受导轨的摩擦力而静止，求该位置到MP的距离：
（2）若金属杆只能放在如图1中导轨ab、cd之间才能保持静止，且a、b分别为cM、dP的中点，求导轨ac长度的电阻．（已知没有磁场时，金属杆不能自由静止在导轨上）

Answer 1

分析 （1）金属杆恰好不受导轨的摩擦力而静止时，受到重力、导轨的支持力和安培力而平衡，由平衡条件和安培力公式求出导轨的电阻，从而得到该位置到MP的距离．
（2）金属杆只能放在如图1中导轨ab、cd之间才能保持静止，说明在cd处刚好不下滑，在ab处刚好不上滑，根据平衡条件求解．
（3）求出金属棒刚好不上滑和刚好不下滑时所受的安培力，再求出电流的范围，得到电阻的范围．

解答 解：（1）设该位置到MP的距离为x．
金属杆恰好不受导轨的摩擦力而静止时，有 mgsinθ=BIL，I=$\frac{E}{2xr}$
联立得 x=$\frac{BLE}{2mgrsinθ}$
（2）设导轨ac长度的电阻为R′，最大静摩擦力为f．
据题：ab棒在cd处刚好不下滑，则有 mgsinθ=B$\frac{E}{4R′}$L+f
在ab处刚好不上滑，则有 mgsinθ+f=B$\frac{E}{2R′}$L
联立解得 R′=$\frac{3BLE}{8mgsinθ}$，f=$\frac{1}{3}$mgsinθ
答：
（1）该位置到MP的距离为 $\frac{BLE}{2mgrsinθ}$．
（2）导轨ac长度的电阻为$\frac{3BLE}{8mgsinθ}$．

点评 对于通电导体在磁场中平衡问题，关键要正确分析受力情况，把握导体棒刚好滑动的临界条件：静摩擦力达到最大，由平衡条件和安培力公式研究．