Question

过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型,它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成,B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点,B、C间距与C、D间距相等,半径R₁=2.0 m、R₂=1.4 m。一个质量为m=1.0 kg的小球(视为质点),从轨道的左侧A点以v₀=12.0 m/s的初速度沿轨道向右运动,A、B间距L₁=6.0 m。小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2,圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长,圆形轨道间不相互重叠。重力加速度取g=10 m/s²,计算结果保留小数点后一位数字。试求

(1)小球在经过第一个圆形轨道的最高点时,轨道对小球作用力的大小;

(2)如果小球恰能通过第二个圆形轨道,B、C间距L应是多少;

(3)在满足(2)的条件下,如果要使小球不脱离轨道,在第三个圆形轨道的设计中,半径R₃应满足的条件;小球最终停留点与起点A的距离。

分析:主要考查动能定理和圆周运动。

Answer 1

解析:设小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v₁,根据动能定理

①

小球在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F,根据牛顿第二定律

②

由①②得F=10.0 N③

(2)设小球在第二个圆轨道最高点的速度为v₂,由题意

④

⑤

由④⑤得L=12.5 m⑥

(3)要保证小球不脱离轨道,可分两种临界情况进行讨论:

Ⅰ.轨道半径较小时,小球恰能通过第三个圆轨道,设在最高点的速度为v₃,应满足

⑦

⑧

由⑥⑦⑧得R₃=0.4 m

Ⅱ.轨道半径较大时,小球上升的最大高度为R₃,根据动能定理

解得R₃=1.0 m

为了保证圆轨道不重叠,R₃最大值应满足

(R₂+R₃)²=L²+(R₃-R₂)²

解得R₃=27.9 m

综合Ⅰ、Ⅱ,要使小球不脱离轨道,则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件

0＜R₃≤0.4 m

或1.0 m≤R₃≤27.9 m

(若写成“1.0 m≤R₃＜27.9 m”,也可)

当0＜R₃≤0.4 m时,小球最终停留点与起点A的距离为L′,则

-μmgL′=0-mv₀²

L′=36.0 m

当1.0 m≤R₃≤27.9 m时,小球最终停留点与起点A的距离为L″,则

L″=L′-2(L′-L₁-2L)=26.0 m