Question

15．如图所示，在平面直角坐标系xOy内，第二、三象限内存在沿y轴正方向的匀强电场，第一、四象限内存在半径为L的圆形匀强磁场，磁场方向垂直于坐标平面向外．一个质量 为m，带电量为q的带正电的粒子从第三象限中的Q（-2L，-L）点以速度v₀沿x轴正方向射出，恰好从坐标原点O进入磁场，从P（2L，0）点射出磁场．不计粒子重力，求：
（1）电场强度E
（2）从P点射出时速度v_p的大小
（3）粒子在磁场与电场中运动时间之比．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动规律可以求出电场强度．
（2）由运动的合成与分解求出粒子进入磁场时的速度大小．
（3）求出粒子在电场与磁场中的运动时间，然后求出它们的比值．

解答 解：粒子在电场中做类平抛运动，在磁场中做平抛运动，运动轨迹如图所示；
（1）粒子在电场中做类平抛运动，
x轴方向：2L=v₀t，
y方向：L=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t²，
解得，电场强度：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qL}$；
（2）设粒子到达坐标原点时竖直分速度为v_y，
粒子在电场中做类似平抛运动，
x方向：2L=v₀t…①
y方向：L=$\frac{{v}_{y}}{2}$t…②
由①②得：v_y=v₀，
粒子进入磁场时的速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{2}$v₀，
离子进入磁场做匀速圆周运动，粒子速度大小不变，则：v_p=v=$\sqrt{2}$v₀；
（3）粒子在磁场中做圆周运动的周期：T=$\frac{2πr}{v}$，
粒子在磁场中的运动时间：
t′=$\frac{θ}{360°}$T=$\frac{2α}{360°}$T=$\frac{2×45°}{360°}$×$\frac{2π×\sqrt{2}L}{\sqrt{2}{v}_{0}}$=$\frac{πL}{2{v}_{0}}$，
粒子在磁场与电场中运动时间之比：$\frac{t′}{t}$=$\frac{\frac{πL}{2{v}_{0}}}{\frac{2L}{{v}_{0}}}$=$\frac{π}{4}$；
答：（1）电场强度E的大小为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qL}$；
（2）从P点射出时速度v_p的大小为$\sqrt{2}$v₀；
（3）粒子在磁场与电场中运动时间之比为π：4．

点评 带电粒子在匀强电场中运动时，要注意应用运动的合成和分解；而在磁场中运动时为匀速圆周运动，在解题时要注意应用好平抛和圆周运动的性质．