Question

5．如图1所示，在某星球表面轻绳约束下的质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，小球在最低点与最高点所受轻绳的拉力之差为△F，假设星球是均匀球体，其半径为R，已知万有引力常量为G．不计一切阻力．
（1）求星球表面重力加速度；
（2）求该星球的密度；
（3）如图2所示．在该星球表面上，某小球以大小为v₀的初速度平抛，恰好能击中倾角为θ的斜面，且位移最短．试求该小球平抛的时间．

Answer 1

分析 （1）在最高点，重力和拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式；最低点，拉力和重力的合力提供向心力，再次根据牛顿第二定律列式；再根据动能定理列式；最后联立求解即可；
（2）在星球表面，重力等于万有引力，根据万有引力定律列式求解；
（3）位移最短，说明位移方向与斜面垂直，根据平抛运动的规律列式求解．

解答 解：（1）在最高点，重力和拉力的合力提供向心力，故：${F}_{1}+mg=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
再最低点，重力和拉力的合力提供向心力，故：${F}_{2}-mg=m\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
根据动能定理，有：$mg（2R）=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
联立解得：F₂-F₁=6mg
根据题意，有：小球在最低点与最高点所受轻绳的拉力之差为△F，故：g=$\frac{△F}{6m}$
（2）在星球表面，重力等于万有引力，故：
m′g=G$\frac{m′M}{{R}^{2}}$
$ρ=\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$ 
联立解得：
ρ=$\frac{△F}{8πmR}$
（3）位移最短，说明位移方向与斜面垂直，故位移偏转角为（$\frac{π}{2}$-θ），故：
tan（$\frac{π}{2}$-θ）=$\frac{y}{x}$
y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
x=v₀t
联立解得：
t=$\frac{{12m{v_0}}}{△Ftanθ}$
答：（1）星球表面重力加速度为$\frac{△F}{6m}$；
（2）该星球的密度为$\frac{△F}{8πmR}$；
（3）该小球平抛的时间为$\frac{{12m{v_0}}}{△Ftanθ}$．

点评 本题是竖直平面内的圆周运动问题、平抛运动问题、万有引力定律问题的综合，涉及规律多，关键是区分各个运动模型的动力学规律．