Question

14．如图所示，物体A放在足够长的木板B上，木板B静止于水平面．t=0时，电动机通过水平细绳以恒力F拉木板B，使它做初速度为零，加速度a_B=4.0m/s²的匀加速直线运动．已知A的质量m_A和B的质量m_B均为2.0kg，A、B之间的动摩擦因数μ₁=0.2，B与水平面之间的动摩擦因数μ₂=0.4，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小视为相等，重力加速度g取10m/s²．求：
（1）t=1.0s时，物体A的加速度大小a_A；
（2）t=1.0s时，电动机的输出功率P；
（3）若t=1.0s时，将电动机的输出功率立即调整为P′=80W，并在以后的运动过程中始终保持这一功率不变，t′=2.5s时物体A刚好到达最大速度，则在t=1.0s到t=2.5s这段时间内木板B的位移是多少？

Answer 1

分析 （1）对物体A进行受力分析，其在水平方向只受摩擦力，根据牛顿第二定律就出a_A；
（2）电动机的输出功率P=Fv，对B进行受力分析，水平方向受到拉力F、地面对B的摩擦力、A对B的摩擦力，对B运用牛顿第二定律可解除F，根据运动学公式求出v，即可求得P；
（3）电动机的输出功率调整为P′=80W时，根据P=Fv，求出F，对B进行受力分析，得出B受平衡力，所以B做匀速运动，而物体A则继续在B上做匀加速直线运动直到A、B速度相等，算出时间，算出位移s₁，速度相同后，由于F＞μ₂（m_A+m_B）g且电动机输出功率恒定，A、B将一起做加速度逐渐减小的变加速运动，根据动能定理求出位移s₂，木板B在t=1.0s到t=2.5s这段时间的位移s=s₁+s₂．

解答 解：（1）若A相对于B滑动，则对物体A进行受力分析，可知其在水平方向只受滑动摩擦力，根据牛顿第二定律得：
f=μ₁m_Ag=m_Aa_A
解得：a_A=μ₁g=2m/s²＜a_B=4.0m/s²，所以假设正确，则A的加速度为2m/s²；
（2）对物体B进行受力分析，水平方向受到拉力F、地面对B的摩擦力、A对B的摩擦力，根据牛顿第二定律得：
F-μ₁m_Ag-μ_2^（m_B+m_A）g=m_Ba_B
代入数据解得：F=28N，
t=1s时B的速度为：v=a_Bt=4m/s
所以电动机的输出功率 P=Fv=112W
（3）电动机的输出功率调整为P′=80W时，设细绳对木板B的拉力为F′，则P′=F′v，
代入数据解得：F′=20N，
对木板进行受力分析，木板B受力满足：F′-μ₁m_Ag-μ₂（m_A+m_B）g=0
所以木板B将做匀速直线运动，而物体A则继续在B上做匀加速直线运动直到A、B速度相等．设这一过程时间为t₁，则有：
v=a_A（t+t₁），
得：t₁=1s
这段时间内B的位移为：s₁=vt₁=4×1m=4m，
A、B速度相同后，由于F＞μ₂（m_A+m_B）g且电动机输出功率恒定，A、B将一起做加速度逐渐减小的变加速运动，速度相同后到B的速度达到最大用时为t₂，则有：
t₂=t′-t₁=1.5s
由动能定理得：P′t₂-μ₂（m_A+m_B）gs₂=$\frac{1}{2}$（m_A+m_B）${v}_{A}^{2}$-$\frac{1}{2}$（m_A+m_B）v²；
A速度最大时有：P′=μ₂（m_A+m_B）gv_A；
由以上各式代入数据得：v_A=5m/s，s₂=$\frac{102}{16}$m=6.375m
在t=1.0s到t=2.5s这段时间内木板B的位移是：s=s₁+s₂=10.375m
答：（1）t=1.0s时，物体A的加速度大小a_A是2m/s²．
（2）t=1.0s时，电动机的输出功率P是112W；
（3）在t=1.0s到t=2.5s这段时间内木板B的位移是 10.375m．

点评 本题对受力分析的要求较高，要能根据受力情况判断运动情况，或根据运动情况判断受力情况，按时间顺序边计算边分析．第3小题与汽车的起动相似，明确B的合力为零时速度最大．