Question

（15分）如图所示，用长为L的细线一端系住质量为m的小球，另一端固定在A点，AB是过A的竖直线，E为AB上的一点，且AE=0.5L，过E作水平线EF，在EF上可以钉铁钉D，现将细线水平拉直，然后小球由静止释放。不计一切摩擦，不计线与钉子碰撞时的能量损失，求：

（1）若无铁钉D，小球运动到最低点B时细线的拉力T_B=?
（2）若钉上铁钉D且线拉力足够大，使小球恰能绕钉子在竖直面内做完整圆周运动，则钉子D 与点E 距离DE=？
（3）钉铁钉D后，若线能承受的最大拉力是9mg，小球能绕钉子在竖直面内做完整圆周运动，ED取值范围是多少？

Answer 1

（1）3mg；（2）x₂≥l ；（3）l≤x≤l

解析试题分析：（1）这是一个圆周运动与机械能两部分知识综合应用的典型问题．题中涉及两个临界条件：一是线承受的最大拉力不大于9mg；另一个是在圆周运动的最高点的瞬时速度必须不小于（r是做圆周运动的半径）．设在D点绳刚好承受最大拉力，设DE=x₁，则：AD=
悬线碰到钉子后，绕钉做圆周运动的半径为：r₁=l－AD= l－……①
取B点，E_P=0，，mgL=mv²，则T_B=3mg。
（2）设钉子在G点小球刚能绕钉做圆周运动到达圆的最高点，设EG=x₂，如图，则：AG=
r₂=l－AG= l－   ⑥
在最高点：mg≤      ⑦
由机械能守恒定律得：mg (r₂)=mv₂²  ⑧
由④⑤⑥联立得：x₂≥l               ⑨
（3）当小球落到D点正下方时，绳受到的最大拉力为F，此时小球的速度v，由牛顿第二定律有：
F－mg=                        ②
结合F≤9mg可得：≤8mg…       ③
由机械能守恒定律得：mg (+r₁)=mv₁²
即：v²=2g(+r₁) …                ④
由①②③式联立解得：x₁≤l…      ⑤
随着x的减小，即钉子左移，绕钉子做圆周运动的半径越来越大．转至最高点的临界速度也越来越大，但根据机械能守恒定律，半径r越大，转至最高点的瞬时速度越小，当这个瞬时速度小于临界速度时，小球就不能到达圆的最高点了．在水平线上EF上钉子的位置范围是：l≤x≤l
考点：机械能守恒定律及牛顿定律的应用。