Question

7．我国探月计划分成“绕、落、回”三部分．若已知地球和月球的半径之比为a，地球表面的重力加速度和月球表面的重力加速度之比为b，以下说法正确的是（　　）

• A． 在地球和月球之间的某处飞船受到的地球和月球的引力大小相等，此处距地球和月球的距离之比为$\frac{a}{b}$
• B． 飞船绕地球表面飞行和绕月球表面飞行的周期之比为$\sqrt{ab}$
• C． 地球与月球的第一宇宙速度之比为$\sqrt{\frac{a}{b}}$
• D． 地球与月球的质量之比为a²b

Answer 1

分析 D、根据星球表面重力等于万有引力列式分析；
A、根据万有引力定律列式求解距地球和月球的距离之比；
B、根据重力等于万有引力得到周期表达式进行分析；
C、根据重力等于万有引力得到第一宇宙速度表达式进行分析．

解答 解：D、在星球表面，重力等于万有引力，故：
mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
故M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
由于地球和月球的半径之比为a，地球表面的重力加速度和月球表面的重力加速度之比为b，故地球与月球的质量之比为a²b，故D正确；
A、在地球和月球之间的某处飞船受到的地球和月球的引力大小相等，根据万有引力定律，有：
$G\frac{{{M_地}m}}{r_地^2}=G\frac{{{M_月}m}}{r_月^2}$
故$\frac{r_地}{r_月}=\sqrt{\frac{M_地}{M_月}}=\sqrt{{a^2}b}$
故A错误；
B、在星球表面，重力提供向心力，故：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{gR}$
已知地球和月球的半径之比为a，地球表面的重力加速度和月球表面的重力加速度之比为b，故地球与月球的第一宇宙速度之比为$\sqrt{ab}$，故B错误；
C、在星球表面，重力提供向心力，故：
mg=m（$\frac{2π}{T}$）²R
解得：T=2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$∝$\sqrt{\frac{R}{g}}$
由于地球和月球的半径之比为a，地球表面的重力加速度和月球表面的重力加速度之比为b，故飞船绕地球表面飞行和绕月球表面飞行的周期之比为$\sqrt{\frac{a}{b}}$，故C错误；
故选：D

点评 对于人造卫星的问题，关键是明确两个思路：卫星的万有引力提供向心力；在地球表面附近，重力等于万有引力．