Question

9．如图，半径为R的光滑半圆面固定在竖直面内，其直径AB处于竖直方向上．一质量为m的小球以初速度v₀从最低点A水平射入轨道并运动到最高点B处．则（　　）

• A． 小球的初速度v₀至少为2$\sqrt{gR}$
• B． 小球经过A点时对轨道的压力至少为5mg
• C． 小球经过A点时对轨道的压力至少为2mg
• D． 小球的初速度v₀至少为$\sqrt{5gR}$

Answer 1

分析 小球恰好能通过最高点B，知在最高点轨道对球的弹力为零，重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小球通过B点的速度大小．对A到B过程运用动能定理，求出初速度v₀的大小；
在A点小球靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出轨道对球的支持力，从而求出对轨道的压力

解答 解：AD、小球过B点时，由牛顿第二定律可得：$mg=m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得：${v}_{B}^{\;}=\sqrt{gR}$
小球从A点到B点，由动能定理可得：$-mg•2R=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：${v}_{0}^{\;}=\sqrt{5gR}$，故A错误，D正确；
BC、小球经过A点时做受力分析，由牛顿第二定律可得：${F}_{N}^{\;}-mg=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得：${F}_{N}^{\;}=6mg$，则球对轨道的压力为6mg，故BC错误；
故选：D

点评 解决本题的关键是要知道小球在最高点和最低点向心力的来源，通过牛顿第二定律和动能定理进行求解．