Question

11．如图所示，一束截面为圆形半径为R的平行单色光，垂直射向一玻璃半球的平面，经折射后在屏幕S上形成一个圆形亮区，已知玻璃半球的半径为R，屏幕S到球心的距离为d=2$\sqrt{3}$ R，不考虑光的干涉和衍射，玻璃对该光的折射率为n=2，求
（1）屏幕逐渐靠近玻璃半球过程，屏幕上圆形亮区半径如何变？
（2）开始时屏幕上被照亮区域的半径？

Answer 1

分析 作出光线在圆面上发生全反射的光路图，结合折射定律和几何关系求出屏幕上被照亮区域的半径．

解答 解：设光恰好发生全反射时的临界光线照射到幕S上的E点，E点到亮区中心O′点的距离r就是所求最大半径，如图所示．
设临界角为θ，有sinθ=$\frac{1}{n}$


又OF=$\frac{R}{cosθ}$，
O′E=（d-OF）cotθ
解得：r=O′E=$d\sqrt{{n}^{2}-1}-nR$=4R．
由上式和光路图可知，当屏幕到圆心的距离减小时，光斑的半径将先减小；直到减小为一个点，然后又会逐渐增大．
答：（1）屏幕逐渐靠近玻璃半球过程，屏幕上圆形亮区半径先减少后增大；
（2）开始时屏幕上被照亮区域的半径为4R．

点评 本题考查了光的折射定律和全反射知识，对数学几何能力的要求较高，需加强这方面的训练．