Question

1．一个绝缘的刚性细圆环，半径为R，质量为M，可以绕竖直轴O自由地旋转，但不能平动，此环沿圆周均匀带电，电荷量为Q，在A点处剪下一个小缺口，其空隙长度为l＜＜R，开始时圆环静止不动，接通一匀强电场E，让E既能垂直于轴O，又垂直于OA，如图，求圆环旋转的最大角速度．

Answer 1

分析 根据对称性和电场的叠加原理知道，有缺口的带电细圆环可等效为一个电荷线密度为$\frac{Q}{2πR}$的均匀带电圆环与一个带电荷量为$\frac{Ql}{2πR}$的负点电荷位于缺口处的叠加，电场对负电荷产生力矩，当A点顺时针转过90°时，电场力对它做功最多，对应的速度最大，角速度达最大值，根据动能定理和线速度与角速度的关系求解．

解答 解：有缺口的带电细圆环可等效为一个电荷线密度为$\frac{Q}{2πR}$的均匀带电圆环与一个带电荷量为$\frac{Ql}{2πR}$的负点电荷位于缺口处的叠加，显然，电场对负电荷产生力矩，当A点顺时针转过90°时，电场力对它做功最多，对应的速度最大，即圆环旋转的角速度达最大值，根据动能定理得
     $\frac{Ql}{2πR}$•ER=$\frac{1}{2}m{v}_{max}^{2}$=$\frac{1}{2}m（{ω}_{max}R）^{2}$
解得ω_max=$\sqrt{\frac{QEl}{πm{R}^{2}}}$
答：圆环旋转的最大角速度是$\sqrt{\frac{QEl}{πm{R}^{2}}}$．

点评 通过恰当的侵害填补，可以使原来不在公式适用范围之内的问题变为能直接应用公式的问题，这在研究处理电学问题时用得十分广泛．本题尤其要注意对称关系的利用．