Question

13．如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点．水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP，其形状为半径R=0.8m的圆环剪去了左上角135°的圆弧，MN为其竖直直径．用质量m₁=0.4kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B点．用同种材料、质量为m₂=0.2kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点释放，物块过B点时速度为6m/s，物块与桌面的动摩擦因数μ=0.4，B、D间水平距离S_BD=2.5m，物块飞离桌面后由P点沿切线落入圆轨道．（不计空气阻力，g=10m/s²）求：
（1）物块离开桌面D时的速度大小；
（2）P点到桌面的竖直距离h；
（3）判断m₂能否沿圆轨道到达M点（要求计算过程）；
（4）释放后m₂运动过程中克服桌面摩擦力做的功．

Answer 1

分析 （1）对BD过程，运用动能定理列式，可求出物块离开桌面D时的速度大小．
（2）物块离开D点做平抛运动，由P点沿圆轨道切线落入圆轨道，知道了到达P点的速度方向，将P点的速度分解为水平方向和竖直方向，根据竖直方向上做自由落体运动求出竖直分速度，再求h．
（3）物块在内轨道做圆周运动，在最高点有临界速度，则mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，根据机械能守恒定律，求出M点的速度，与临界速度进行比较，判断其能否沿圆轨道到达M点．
（4）释放两个物体时弹簧的弹性势能相等，由释放过程，由能量守恒列式．再由动能定理列式，可求m₂运动过程中克服桌面摩擦力做的功．

解答 解：（1）设物块离开桌面D时的速度为 v_D．由动能定理可得：
-μm₂gS_BD=$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{D}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{B}^{2}$
得：v_D=4m/s
（2）设物块落到P点时其竖直速度为v_y．
由$\frac{{v}_{y}}{{v}_{D}}$=tan45°，${v}_{y}^{2}$=2gh                 
得：h=0.8m      
（3）若物块能沿轨道到达M点，其速度为v_D．根据机械能守恒定律得：
  $\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{M}^{2}$=$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{D}^{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}{m}_{2}gR$
得：${v}_{M}^{2}$=16-8$\sqrt{2}$（m²/s²）
若物块恰好能沿轨道过M点，则有：m₂g=${m}_{2}\frac{{v}_{M}^{{′}^{2}}}{R}$
解得：${v}_{M}^{′2}$=8＞${v}_{M}^{2}$，所以物块不能到达M点 
（4）设弹簧长为AC时的弹性势能为E_P，
释放m₁时有：E_p=μm₁gS_CB        
释放m₂时有：E_p=μm₂gS_CB+$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{D}^{2}$
且m₁=2m₂，可得 E_p=m₂${v}_{D}^{2}$=7.2J
m₂在桌面上运动过程中克服摩擦力做功为W_f，则：E_p-W_f=$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{D}^{2}$          
得：W_f=5.6J
答：（1）物块离开桌面D时的速度大小是4m/s；
（2）P点到桌面的竖直距离h是0.8m；
（3）判断m₂不能沿圆轨道到达M点；
（4）释放后m₂运动过程中克服桌面摩擦力做的功是5.6J．

点评 该题涉及到多个运动过程，主要考查了机械能守恒定律、平抛运动基本公式、圆周运动向心力公式的应用，用到的知识点及公式较多，关键要把握最高点的临界条件．