Question

5．甲、乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变．在第一段时间间隔t内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车乙的加速度大小是甲的两倍；在接下来的相同时间间隔t内，汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半．求甲在2t时间间隔内走过的位移与乙在2t时间间隔内走过的位移之比．

Answer 1

分析 分别对甲乙两车研究，运用速度公式和位移公式用相同的加速度a，时间间隔t等相同的量表示总位移，再求出比例．

解答 解：设汽车甲在第一段时间间隔t₀末的速度为v，第一段时间间隔内行驶的路程为s₁，加速度为a，在第二段时间间隔内行驶的路程为s₂．由题，汽车甲在在第二段时间间隔内加速度为2a．设甲、乙两车行驶的总路程分别为s、s'，则有：s=s₁+s₂，s'=s₁′+s₂′．
由运动学公式得：
v=at…①
s₁=$\frac{1}{2}$at²…②
s₂=vt+$\frac{1}{2}$（2a）t²…③
将①代入③得 s₂=2at²…④
由②+④得 s=s₁+s₂=$\frac{5}{2}$at²
设乙车在时间t的速度为v'，在第一、二段时间间隔内行驶的路程分别为s₁′、s₂′．
同样有：v'=（2a）t…⑤
s₁′=$\frac{1}{2}$（2a） t²…⑥
s₂′=v′t+$\frac{1}{2}$at²…⑦
将⑤代入⑦得 s₂′=$\frac{5}{2}$at²…⑧
由⑥+⑧得s'=s₁′+s₂′=$\frac{7}{2}$at²．
所以甲、乙两车各自行驶的总路程之比为 $\frac{s}{s′}$=$\frac{5}{7}$
答：甲乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比为5：7．

点评 对于两个物体运动问题的处理，除了分别研究两个物体的运动情况外，往往要抓住它们之间的关系，列出关系式．