Question

10．如图1所示，n匝正方形导线框用细线悬挂于天花板上且处于静止状态，线框平面在纸面内，线框的边长为L，总电阻为R，线框的下半部分（总面积的一半）处于垂直于纸面向里的有界匀强磁场中，磁场的上、下边界之间的距离为d（d大于L），磁场的磁感应强度按图2变化，t₀时刻，悬线的位力恰好为零，图中B₀、t₀已知．在t=t₀时刻剪断细线，线框刚要完全穿过磁场时，加速度变为零，线框在穿过磁场的过程中始终在纸面里，且不发生转动，重力加速度为g，则下列判断正确的是（　　）

• A． 线框的质量为m=$\frac{{n}^{2}{B}_{0}^{2}{L}^{3}}{g{t}_{0}R}$
• B． 0-t0时间内，通过某一匝线框截面的电荷量为$\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{2R}$
• C． 剪断细线后，线框进磁场的过程可能先加速再匀减速
• D． 线框穿过磁场的过程中，线框中产生的焦耳热为$\frac{{n}^{2}{B}_{0}^{2}{L}^{3}}{2{t}_{0}R}$（d+$\frac{L}{2}$-$\frac{{L}^{2}}{8g{t}_{0}^{2}}$）

Answer 1

分析 本题考察三个方面内容：①当磁感应强度均匀增大时，线圈中有感应电流，受到向上的安培力，由题设悬线的拉力为零，则安培力等于重力．②t₀之后，由于磁场变为恒定，线圈在匀强磁场中加速下降，全部进入磁场后以g 的加速度加速，下边缘离开磁场时，由于线框上边切割磁感线产生感应电流，线框受安培力，当安培力变化到与重力相等时，加速度为零；③至于焦耳热要用到能量守恒定律进行计算．

解答 解：A、0-t₀这段时间内，感应电动势$E=n\frac{△B}{△t}•S=n\frac{{B}_{0}}{{t}_{0}}×\frac{1}{2}{L}^{2}=\frac{n{B}_{0}{L}^{2}}{2{t}_{0}}$，感应电流受到的安培力  $F=nB•\frac{\frac{n{{B}_{0}}^{2}{L}^{2}}{2{t}_{0}}}{R}L=\frac{{n}^{2}{{B}_{0}}^{2}{L}^{3}}{2{t}_{0}R}$，由题意悬线拉力为零，则mg=F，代入得到：$m=\frac{{n}^{2}{{B}_{0}}^{2}{L}^{3}}{2g{t}_{0}R}$，所以选项A错误．
B、0-t₀这段时间内，产生的感应电动势恒定，电流恒定，则通过某一匝线框截面的电量$q=I{t}_{0}=\frac{\frac{n{B}_{0}{L}^{2}}{{2t}_{0}}}{R}{t}_{0}=\frac{n{B}_{0}{L}^{2}}{2R}$，所以选项B错误．
C、t₀剪断细线后，由于磁感应强度变为恒定，此刻安培力变为零，线框在重力的作用下加速运动，由于切割产生感应电流，受到安培力也将增大，全部进入磁场后以g的加速度继续加速，由于线框的上边缘离开磁场时加速度才为零，所以之前加速度是减小的，所以C错误．
D、由题意，线框的上边缘离开磁场时加速度为零，则此刻有重力等于安培力，即$mg={nB}_{0}•\frac{{nB}_{0}Lv}{R}•L$，于是求得线框完全离开磁场的速度$v=\frac{mgR}{{n}^{2}{{B}_{0}}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{L}{2{t}_{0}}$，据能量守恒定律有$mg（d-\frac{1}{2}L+L）=\frac{1}{2}m{v}^{2}+Q$，将m的值代入得：$Q=\frac{{n}^{2}{{B}_{0}}^{2}{L}^{3}}{2{t}_{0}R}（d+\frac{L}{2}-\frac{{L}^{2}}{8g{{t}_{0}}^{2}}）$，所以选项D正确．
故选：D

点评 本题的关键点在于剪断细线后，上边未进入磁场前加速度要变化，全部进入磁场后无感应电流以g的加速度加速．穿出磁场时，有可能继续加速，也有可能减速，但完全离开磁场时，加速度为零，中间过程不影响焦耳热的计算．求出完全离开磁场时的速度，才能确定机械能的减少，也就知道焦耳热的多少．